Các suy rộng của định lý các giá trị trung bình lagrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NGỌC TOÀN

CÁC SUY RỘNG CỦA

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 5

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan

trọng trong giải tích.Gần đây, nhiều phương trình hàm được nghiên

cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung bình và các suy rộng của

chúng. Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange đã đem

lại nhiều kết quả bất ngờ và lý thú trong giải tích vào cuối thế kỷ 20

và là nguồn động lực để các nhà toán học tập trung nghiên cứu trong

những năm gần đây.

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các

suy rộng của nó và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định

lý giá trị trung bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong

phương trình hàm, hai vấn đề quan trọng trong chương trình THPT,

đặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết định chọn đề

tài với tên gọi: Các suy rộng của định lý giá trị trung bình

Lagrange để tiến hành nghiên cứu.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài:

Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình,

nhưng ở đây nội dung của đề tài được tập trung nghiên cứu các vấn

đề trong ba chương sau:

-- Trong Chương 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình

Lagrange và hai mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình

Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng với nhiều ví dụ

minh họa.

-- Trong Chương 2, chúng tôi sẽ khảo sát nhiều suy rộng của định lý

giá trị trung bình Lagrange.

2

-- Chương 3 bàn về định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó

đối với hàm có đạo hàm đối xứng và đạo hàm Dini

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình

Lagrange và các suy rộng của nó. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là

các định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số

suy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan

đến chúng.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu:

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình

và các ứng dụng của chúng.

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với

các chuyên gia về các định lý giá trị trung bình và các ứng dụng của

chúng.

5. Đóng góp của đề tài:

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange và các suy rộng của nó

cùng với các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài

liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị

trung bình và phương trình hàm.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như

đưa ra một số ví dụ minh hoạ hay và hợp lý nhằm làm cho người đọc

dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.

3

CHƢƠNG 1

CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ

TRUNG BÌNH LAGRANGE

1.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC

PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Định lý 1.1.1. Nếu f liên tục trên [x1,x2] và khả vi trên (x1,x2)với

f(x1)=f(x2) thì tồn tại một điểm (x1,x2) sao cho f’( )=0.

Định lý 1.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và

với mọi cặp x1 x2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x1 và x2

sao cho

(1.1)

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) '( ( , )). f x f x f x x

x x

Định nghĩa 1.1.1. Với các số thực phân biệt x1, x2, … , xn, tỷ sai

phân của hàm f:

 

được định nghĩa là f[x1] = f(x1) và

1 2 1 2 3

1 2

1

[ , ,..., ] [ , ,..., ] [ , ,..., ] n n

n

n

f x x x f x x x f x x x

x x

, với mọi n 2.

Định lý 1.1.3. Các hàm f, h:

 

thỏa mãn phương trình hàm

(1.3) f[x,y] = h(x + y), x y,

khi và chỉ khi f(x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b trong đó a, b, c là

hằng số thực tùy ý.

Hệ quả 1.1.1. Hàm f :

 

thỏa mãn phương trình hàm

( ) ( ) ( ) '( )

2

x y f x f y x y f

, x y,

khi và chỉ khi f(x)= ax2 + bx + c với a, b, c là các hằng số thực tùy ý.

Định lý 1.1.4. Nếu đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c, với a 0, là

một nghiệm của phương trình hàm

(1.12) f(x + h) – f(x) = hf’(x + h) (0< <1)

4

được giả sử với mọi x



và h



\{0} thì =1/2 . Đảo lại nếu

một hàm f thỏa mãn phương trình hàm ở trên với = 1/2 thì nghiệm

duy nhất là một đa thức có bậc nhiều nhất bằng hai.

Định lý 1.1.5. Với các tham số thực s, t, các hàm f, g, h :

 

thỏa mãn

(1.15)

( ) ( ) ( ) f x g y h sx ty

x y

với mọi x, y



, x y khi và chỉ khi

(1.16)

2

ax + b nÕu s = 0 = t

ax + b nÕu s = 0, t 0

ax + b nÕu s 0, = 0

( ) tx + ax + b nÕu s = t 0

A(tx) + b nÕu s = -t 0

x + b nÕu

t

f x

t

2 2 s t

(1.17)

2

ay + b nÕu s = 0 = t

ay + b nÕu s = 0, t 0

ay + b nÕu s 0, = 0

( ) ty + ay + b nÕu s = t 0

A(ty) + y nÕu s = -t 0

+ b nÕu

t

g y

t

y

2 2 s t

2

ay + b nÕu s = 0 = t

ay + b nÕu s = 0, t 0

ay + b nÕu s 0, = 0

( ) ty + ay + b nÕu s = t 0

A(ty) + y nÕu s = -t 0

+ b nÕu

t

g y

t

y

2 2 s t

(1.18)

tïy ý víi h(0) = a nÕu s = 0 = t

a nÕu s = 0, t 0

a nÕu s 0, = 0

( ) y + a nÕu s = t 0

A(y) (c - b

+

t

h y

y

2 2

)t nÕu s = -t 0, y 0

y nÕu s t

y

5

trong đó A :

 

là một hàm cộng tính và a, b, c, , là các

hằng số thực tùy ý.

Hệ quả 1.1.2. Các hàm , f :

 

thỏa mãn phương trình hàm

(1.2) với mọi x, y



mà x y khi và chỉ khi

2

2 2

nÕu s=0=t

nÕu s=0, t 0

nÕu s 0, t=0

( ) nÕu s=t 0

( ) nÕu s=-t 0

nÕu s

ax b

ax c

ax c

f x tx ax b

A tx b

t

x b t 2 2

tïy ý nÕu s=0=t

nÕu s=0, t 0

nÕu s 0, t = 0

( ) nÕu s=t 0

( ) nÕu s=-t 0

nÕu s

a

a

x y a

A y

y

t



trong đó A :

 

là một hàm cộng tính và a, b, c,

,

là các

hằng số thực tùy ý.

Hệ quả 1.1.3. Hàm f :

 

thỏa mãn phương trình

( ) ( ) '( ) f y f x f sx ty

y x

với mọi x,y



với x y khi và chỉ khi

2 1

nÕu s =

( ) 2

trong tr­êng hîp cßn l¹i,

ax bx c t

f x

b c

trong đó a, b, và c là các hằng số thực tùy ý.

Định lý 1.1.6. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm

6

(1.63) f[x,y,z] = h(x + y + z),

thì f là một đa thức có bậc nhiều nhất là ba.

Định lý 1.1.7. Cho f thỏa mãn phương trình hàm

(1.69) f[x1, x2, x3] = g(x1 + x2 + x3),

với mọi x1, x2, x3



sao cho x1 x2, x2 x3 và x3 x1. Khi đó f là

đa thức có bậc nhiều nhất là ba và g là tuyến tính.

Bổ đề 1.1.1. Cho S là một tập con hữu hạn đối xứng qua 0 ( nghĩa là

–S = S) và đặt f ,g :

 

là các hàm thỏa mãn phương trình hàm

(1.85) f(x) – f(y) = (x- y)g(x + y)

với mọi x, y



\S. Khi đó

(1.86) f(x) = ax2 + bx + c và g(y) = ay + b

với x



\S và y



, trong đó a, b, c là hằng số nào đó.

Định lý 1.1.8. Cho f, g:

 

thỏa mãn phương trình hàm

(1.68)với x1, x2, …, xn phân biệt. Khi đó f là một đa thức có bậc nhiều

nhất là n và g là tuyến tính.

1.2. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN.

Định lý 1.2.1 Giả sử f :

 

có đạo hàm cấp n liên tục trong

khoảng min{x0, x1,...,xn} x max{ x0, x1,...,xn}.Nếu các điểm x0,

x1,...,xn là phân biệt, khi đó

(1.93)

trong đó n 1.

Định lý 1.2.2 Cho f :[a,b]



là một hàm giá trị thực với đạo hàm

cấp n liên tục và x0, x1,...,xn trong [a,b]. Khi đó tồn tại một điểm

trong khoảng [min{x0, x1,...,xn}, max{x0, x1,...,xn}] sao

cho

( )

0 1

( ) [ , ,..., ]

!

n

n

f

f x x x

n

.

1 1 1

( )

1 2 0 1 0 1

0 0 0 1

... ( ( )) [ , ,..., ]

n

t t n

n

k k k n n

k

dt dt f x t x x dt f x x x

7

Ví dụ 1.2.1 Nếu f(x) = xm

, trong đó m là một số nguyên dương lớn

hơn hoặc bằng n, khi đó

( , )

2

n

f

a b M a b .

Ví dụ 1.2.2 Nếu f(x) =

1

x

thì

( , ) n M a b ab f

1.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ CÁC

PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Định lý 1.3.1 Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng số

thực I và với mọi cặp x1 x2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc

vào x1 và x2 sao cho

(1.97) [f(x1) – fx2)]g’( ) = [g(x1) – g(x2)]f’( ).

Định lý 1.3.2 Cho f,g :[a,b]



là những hàm giá trị thực có đạo

hàm cấp n liên tục và g(n)(t) 0 trên [a,b]. Hơn nữa, cho x0, x1,...,xn

trong [a,b]. Khi đó tồn tại một điểm [min{x0, x1,...,xn}, max{x0,

x1,...,xn}] sao cho

(1.100) f[x0, x1,...,xn]g

(n)( ) = g[x0, x1,...,xn]f

(n)( )

1.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC

PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Định lý 1.4.1. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng [a,

b] không chứa 0 và với mọi cặp x1 x2 trong [a, b], tồn tại điểm

(x1, x2) sao cho

(1.113)

Định lý 1.4.2. Hàm f, h :

 

thỏa mãn phương trình hàm

(1.118) f{x, y} = h(x + y) x, y



với x y,

khi và chỉ khi

(1.119) f(x) = ax + b và h(x) = b,

trong đó a, b là hằng số tùy ý.

1 2 2 1

1 2

( ) ( ) ( ) '( ). x f x x f x f f

x x

8

Bổ đề 1.4.1. Nếu f, g, h:

 

thỏa mãn phương trình hàm

( ) yf( ) ( ) xf y x h x y

x y

với mọi x, y



với x y, khi đó f(x) =

g(x), x

 .

Định lý 1.4.3. Cho s và t là các tham số thực. Các hàm f, h :

 

thỏa mãn

(1.126)

với mọi x, y



, x y khi và chỉ khi

(1.127) f(x)= ax + b và

ý víi b = h(0) nÕu s = 0 = t

( ) nÕu s = -t, x 0

trong tr­êng hîp cßn l¹i,

tïy

h x b

b

trong đó a, b là các hằng số tùy ý.

( ) ( ) ( ) xf y yf x h sx ty

x y

9

CHƢƠNG 2

CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ

TRUNG BÌNH

2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM

THỰC.

Bổ đề 2.1.1 Cho f :[a,b]



liên tục trên [a,b] và khả vi trên

khoảng mở (a,b) ngoại trừ một số hữu hạn điểm. Khi đó tồn tại một

điểm c (a,b) sao cho

(2.3) |f(b) – f(a)| (b – a)|f’(c)|.

Bổ đề 2.1.2. Cho f :[a,b]



liên tục trên [a,b] và khả vi trên

khoảng mở (a,b) ngoại trừ một vài số hữu hạn, n, của nhiều điểm.

Khi đó tồn tại n+1 điểm c1, c2,…,cn+1 (a,b) và n+1 số

1 2 1 , ,...,

n

sao cho

1 2 1 ... 1 n

và

(2.4)

Định lý 2.1.1. Cho f :[a,b]



khả vi trên [a,b] và f’(a) = f’(b).

Khi đó tồn tại một điểm (a,b) sao cho

(2.5)

Định lý 2.1.2. Nếu f:[a,b]



là một hàm khả vi thì tồn tại một

điểm (a,b) sao cho

1 '( ) '( ) 2

( ) ( ) ( ) '( ) ( ) .

2

f b f a f f a a f a

b a

Bổ đề 2.1.3. Cho f:[a,b]



liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b] và

[f(b)-f(a)]f’(b) 0. Khi đó tồn tại một điểm (a,b] sao cho

f’( )=0.

Bổ đề 2.1.4. Cho f:[a,b]



liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b] và

[f(b)-f(a)]f’(b)<0. Khi đó tồn tại một điểm (a,b) sao cho

f’( )=0.

1

1

( ) ( ) ( ) '( ).

n

i i

i

f b f a b a f c f f a a f ( ) ( ) ( ) '( ).