Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ HOÀNG LINH

CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60. 46. 40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

ĐÀ NẴNG - 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: Nguyễn Đắc Liêm

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng

vào ngày 10 tháng 1 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu

quan trọng của giải tích toán học. Việc giải phương trình hàm có lẽ là

một trong những bài toán lâu đời của giải tích. Nhu cầu giải phương

trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều

phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học hoặc của

các ngành khoa học khác.

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong

chương trình toán ở các trường THPT chuyên. Trong các kì thi

olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện

các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Tuy nhiên,

cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn còn biết rất ít các

phương pháp để giải các phương trình hàm. Đặc biệt, chúng ta còn

rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và ứng dụng của nó.

Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng,

bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương

trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình

hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến.

Bài toán phương trình hàm thường xuất hiện trong các cuộc

thi toán học. Để giải nó ta không những cần nắm vững lý thuyết mà

còn cần rất nhiều kỹ năng.

Trong toán học hiện đại, nó đóng vai trò quan trọng để giải

quyết các vấn đề liên quan. Phương trình hàm ứng dụng nhiều trong

chương trình phổ thông, chương trình học sinh giỏi toán.

2

Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán

bậc trung học”.

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng của phương

trình hàm hai biến giải toán bậc trung học.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm hai

biến.

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết

và hệ thống các bài toán liên quan đến phương trình hàm hai biến và

vận dụng để giải các bài toán phương trình hàm ở chương trình bậc

trung học.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm hai biến và ứng

dụng.

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với

các chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm.

* Đóng góp của đề tài

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến phương trình hàm hai biến nhằm xây dựng một hệ thống lý

thuyết về các phương trình hàm hai biến.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa

ra một số bài toán, ví dụ minh họa và có chọn lọc nhằm làm cho vấn

đề được sáng tỏ.

3

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

- Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phương trình hàm.

- Chương 2: Các phương trình hàm hai biến.

- Chương 3: Các ứng dụng của phương trình hàm trong giải

toán bậc trung học.

4

CHƢƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM

1.1. VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG TRÌNH

HÀM

1.1.1 . Nicole Oresme (1323 – 1382)

Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một

trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ. Phương trình hàm đã

được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV,

nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một

nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm

hàm số

f x( )

thỏa mãn với mọi

x y z R , , 

, đôi một phân biệt,

phương trình hàm như sau:

   

   

(1.1) y x f y f x

z y f z f y

 



 

Và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là:

f x ax b    

với

ab,

là hằng số.

1.1.2 . Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết

đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các

phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học

Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và

đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm:

f xy f x f y ( ) ( ) ( )   .

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường

1

y x x t x y R ; 1; ; ,

x



    

ông đã kí hiệu diện tích đó là

f t()

và

chứng tỏ

f t()

thỏa mãn phương trình hàm:

5

f xy f x f y x y R ( ) ( ) ( ), , .    

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm

  loga

f x x 

với

a a   0, 1.

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

f x y f x f y x y R ( ) ( ) ( ), ,     

thì phải đến 200 năm sau mới tìm

được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885).

1.1.3 . Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789. Khi

Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn

dật cho đến năm 1800. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung

tâm của Parthenon. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về

các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh.

Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính

xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy. Một trong những

phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có

dạng:

f x y f x f y x y R ( ) ( ) ( ), , .     

(1.2)

Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng:

f x ax   

.

1.1.4 . Jean d’Alembert (1717 – 1783)

Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá

thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn.

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về

nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương

trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau

Cauchy. Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình

bình hành, ông đã xét phương trình:

g x y g x y g x g y         2    

(1.3)

6

với

0

2

y x



  

Phương trình (1.3) bây giờ được gọi là phương trình d'Alembert.

Vào năm 1821, Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều

kiện

g x( )

là hàm liên tục và được nghiệm là:

g x( ) 0, 

g x ax ( ) cos 

hoặc

( ) .

2

ax ax

e e

g x







1.2. ĐỊNH NGHĨA

1.2.1. Định nghĩa

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn của nó là các hàm

số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước.

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần

chính:

- Miền xác định và miền giá trị.

- Phương trình hàm.

- Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn,

liên tục, khả vi,…).

1.2.2. Ví dụ

Ví dụ 1: Xác định các hàm số

f x( )

thỏa mãn điều kiện :

f x f x x R ( 2) 3 ( ) 2, .      

Đáp số:

2

1

( ) 3 ( ),

2

x

f x h x 

  h x( )

là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2.

Ví dụ 2: Tìm hàm số

f x( )

biết :

1

3, 1.

1

x

f x x

x

  

        

Đáp số:

4 2 ( ) , 1.

1

x

f x x

x



  



7

Ví dụ 3: Tìm tất cả các hàm

f R R : 

thỏa mãn:

xf x yf x x y f x f y x y R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , .     

Đáp số:

f x( ) 0  , x R

hoặc

1 khi 0

( )

khi 0, .

x

f x

a a R

 

 

  

Ví dụ 4: Tìm tất cả các hàm

f R R : 

thỏa mãn:

2 4 x f x f x x x x R ( ) (1 ) 2 , .      

Đáp số:

2

4

1 : ,

( ) :

2 : c

x x a x b

f x c R x a

a a a x b

    

   



   

c

là hằng số tùy ý với

a b,

là

nghiệm của phương trình:

2

x x   1 0.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các hàm

f R R : 

thỏa mãn:

f xf x xy f   y x R       x,  , . y

Đáp số:

f x x   

hoặc

f x x    

.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các hàm số

f Q Q : 

thỏa mãn :

f x y f x y f x f y x y Q            2 2 , , .    

Đáp số:

 

2

f x ax 

.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các hàm số

f x 

thỏa mãn:

 

1 1 1 3 1 2 , .

1 2 2

x

f x f x x

x

  

          

Đáp số :

 

1 3 1 1 2 , .

8 2 1 2

f x x x

x

            

8

1.3. SỰ TỒN TẠI VA DUY NHẤT NGHIỆM

Chúng ta luôn quan tâm rằng với các điều kiện nào đó mỗi

phương trình hàm chỉ có một nghiệm duy nhất. Thông thường mỗi

phương trình hàm có thể có rất nhiều nghiệm.

Ví dụ xét phương trình hàm sau:

f x f x ( 1) ( ).  

Chúng ta

có thể có nhiều lời giải cho bài toán này. Cụ thể là chúng ta xây dựng

nghiệm vô hạn như sau, cho

g

là hàm liên tục được xác định trên

nửa khoảng

0,1 .

Lấy

f x g x x       ,

trong đó

 x

là số nguyên

lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng

x.

Khi đó, ta thấy hàm

f x 

thỏa mãn

phương trình trên bởi vì

 x x x x      1 1     .

Tương tự, ta có

phương trình

f f x x    

cũng có nghiệm vô hạn mà một trong số

nghiệm đó là

f x x   

.

Và chúng ta có thể chứng minh được là

f x x    

sẽ vô nghiệm nếu

f

là hàm liên tục.

Trong giải các phương trình hàm, có rất nhiều nghiệm xuất

hiện bằng cách lấy đạo hàm. Điều quan trọng là chúng ta phải thử

vào phương trình ban đầu và kiểm tra lại. Nếu phép lấy đạo hàm chỉ

ra có duy nhất một hàm số có thể là nghiệm thì hàm số đó chưa hẳn

là nghiệm của phương trình ban đầu. Mặt khác chúng ta nên tìm một

hướng giải độc lập với cách giải ban đầu cho đến khi tìm ra nghiệm

hoàn toàn.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các hàm số

f : 1, 1, [ ) [ )    ,

sao cho:

f xf y yf x      

với

x y, 1, .   [ )

Đáp số:

f x x x R      ,

là nghiệm duy nhất của phương trình.