Các hệ thức trong tam giác và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU THỦY

CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU THỦY

CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn

TS. HOÀNG NHẬT QUY

Đà Nẵng - 2021

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số

liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thủy

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: Các hệ thức trong tam giác và một số ứng dụng.

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp.

Họ và tên học viên: Nguyễn Thị Thu Thủy.

Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Nhật Quy.

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng

1/ Những kết quả chính của luận văn.

Các hệ thức trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan

trọng của chương trình toán học phổ thông. Đây là mảng kiến thức rất cần thiết cho

học sinh trong việc tính toán các yếu tố về cạnh, góc, đường trung tuyến, đường

phân giác, đường cao, diện tích tam giác… trong học phẳng và hình học không

gian. Đồng thời, chủ đề này cũng có nhiều tiềm năng ứng dụng trong thực tế như:

Xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của

vật khi không thể đo trực tiếp… Tuy nhiên, các dạng bài tập về các hệ thức trong

tam giác chưa được thể hiện phong phú trong chương trình toán học phổ thông và

các ứng dụng thực tế của các hệ thức trong tam giác không được đề cập đúng mức

vô tình không tạo được động lực và niềm đam mê khi học toán cho học sinh. Với

những lý do như vậy, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hoàng Nhật Quy, tôi đã

chọn đề tài “Các hệ thức trong tam giác và một số ứng dụng” để thực hiện trong

luận văn Thạc sĩ của mình.

Mục tiêu của đề tài nhằm tìm hiểu các hệ thức trong tam giác và ứng dụng

của các hệ thức đó trong giải các bài toán thực tế. Kết quả của đề tài là cơ sở để

xây dựng các chủ đề hoạt động trải nghiệm và thực hành cho học sinh vận dụng

các kiến thức và công cụ về hệ thức lượng trong tam giác vào giải quyết tình huống

thực tế.

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu, thu thập các tài liệu liên

quan đến hệ thức lượng trong tam giác; Phân tích, hệ thống các tài liệu thu thập

được để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung cần thiết đưa vào luận văn; Quan

sát, điều tra, tìm hiểu việc dạy và học nội dung chủ đề hệ thức lượng trong tam

giác ở trường phổ thông; Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận,

tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp.

Cấu trúc của luận văn bao gồm: Mở đầu, nội dung chính, kết luận và tài liệu

tham khảo. Nội dung chính của luận văn gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày về các hệ thức trong tam giác

vuông, tam giác thường, các hệ thức liên quan tới các đường cơ bản và diện tích,

các bất đẳng thức trong tam giác, một số bất đẳng thức cổ điển, khái quát về dạy

học STEM.

Chương 2: Trình bày một số dạng toán liên quan tới các đẳng thức trong tam

giác, một số dạng toán liên quan tới các bất đẳng thức trong tam giác, một số ứng

dụng trong thực tế của hệ thức trong tam giác, chủ đề dạy học STEM về hệ thức

lượng trong tam giác vuông.

2/ Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn.

Đề tài “Các hệ thức trong tam giác và một số ứng dụng” có ý nghĩa khoa học

và thực tiễn, với một hệ thống kiến thức được trình bày theo một hệ thống logic,

các bài tập phong phú sắp xếp theo một cách khoa học từ đễ đến khó, có nhiều bài

tập thực tế và xây dựng được chủ để dạy học STEM để tăng cường các hoạt động

trải nghiệm cho học sinh. Có thể nói rằng luận văn là tài liệu tham khảo bổ ích

dành cho giáo viên dạy toán và học sinh THCS, THPT trong việc dạy và học chủ

đề Hệ thức lương trong tam giác.

3/ Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.

Trong thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu và đi sâu tìm

hiểu nhiều hơn nữa ứng dụng của các hệ thức trong tam giác trong các bài toán thi

học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và khai thác sáng tạo các bài toán dạng này

làm tài liệu giảng dạy cho bản thân, đề tài cũng được kỳ vọng là cở sở để xây dựng

các chuyên đề dạy học theo định hướng hình thành và phát triển phẩm chất, năng

lực của chương trình giáo dục phổ thông mới 2018.

Từ khóa: Hệ thực lượng, ứng dụng của hệ thức lượng, chủ đề dạy học STEM về hệ

thức lương trong tam giác vuông.

Xác nhận của giảng viên hướng dẫn

TS. Hoàng Nhật Quy

Người thực hiện đề tài

Nguyễn Thị Thu Thủy

MASTER THESIS THESIS INFORMATION PAGE

Subject name: The relations in triangles and some applications.

Major: Elementary Mathematical Methods.

Student's full name: Nguyen Thi Thu Thuy.

Scientific instructor: Dr. Hoang Nhat Quy.

Training institution: The University of Pedagogy – Danang University.

1/ The main results of the thesis.

The goal of the topic is to learn the relations in triangles and their

applications in solving real problems. The results of the topic are the basis for

building topics of experiential and practical activities for students to apply

knowledge and tools about the trigonometric system to solve real-life situations.

The research method of the topic is to learn and collect documents related to

the trigonometric system; Analyze and systemize the collected documents to

synthesize and select the necessary content to put in the thesis; Observing,

investigating, understanding the teaching and learning of the subject matter of the

trigonometric system in high schools; Methods of summarizing experience:

exchanging, discussing, consulting with instructors and colleagues.

The structure of the thesis includes: Introduction, main body, conclusion and

references. The main body of the thesis consists of two chapters:

Chapter 1: Preparatory knowledge.

Presenting the relations in right triangles, ordinary triangles, relations related

to basic lines and areas, inequalities in triangles, some classical inequalities,

teaching overview STEM.

Chapter 2: presents some forms of math related to equality in triangles, some

forms of math related to inequalities in triangles, some practical applications of the

relation in triangles, topic teaching STEM about quantification systems in right

triangles.

2/ Scientific and practical significance of the thesis.

The topic "Relationships in triangles and some applications" has scientific

and practical significance, with a system of knowledge presented in a logical

system, rich exercises arranged in a scientific way. Learn from easy to difficult,

have many practical exercises and build a theme for STEM teaching to enhance

student experiences. It can be said that the thesis is a useful reference for math

teachers and middle and high school students in teaching and learning the topic of

the salary system in the triangle.

3/ The next research direction of the topic.

In the coming time, we want to continue to research and explore more

deeply the application of the relations in the triangle in the exam problems for

excellent students at the provincial and national level and to creatively exploit the

This type of problem is used as a teaching material for yourself, the topic is also

expected to be the basis for building teaching topics in the direction of forming and

developing the quality and capacity of the general education program new 2018.

Keywords: The real system, the application of the quantifier system, the

topic of STEM teaching about the wage system in the right triangle.

Confirmation of the instructor

Dr. Hoang Nhat Quy

The person who performed the topic

Nguyen Thi Thu Thuy

2

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỞ ĐẦU 4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 8

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Các hệ thức liên quan đến các đường cơ bản và diện tích . . 10

1.4 Các bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Các bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Khái quát về dạy học STEM . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC HỆ THỨC

TRONG TAM GIÁC 20

2.1 Một số dạng toán liên quan tới các đẳng thức trong tam giác 20

2.1.1 Xác định các yếu tố trong tam giác . . . . . . . . . 20

2.1.2 Giải tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3 Chứng minh các đẳng thức trong tam giác, tứ giác . 27

2.1.4 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Một số dạng toán liên quan tới các bất đẳng thức trong tam

giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến cạnh của tam giác 34

3

2.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến góc của tam giác 40

2.2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố khác 49

2.3 Một số ứng dung trong thực tế của hệ thức trong tam giác . 60

2.3.1 Một số ứng dụng trong thực tế của đẳng thức trong

tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức hình học chứng minh bất

đẳng thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4 Chủ đề dạy học Stem môn toán lớp 9 . . . . . . . . . . . . 76

KẾT LUẬN 88

Tài liệu tham khảo 89

4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Các hệ thức trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan

trọng của chương trình toán học phổ thông. Đây là mảng kiến thức rất

cần thiết cho học sinh trong việc tính toán các yếu tố về cạnh, góc, đường

trung tuyến, đường phân giác, đường cao, diện tích tam giác. . . trong học

phẳng và hình học không gian. Đồng thời, chủ đề này cũng có nhiều tiềm

năng ứng dụng trong thực tế như: Xác định khoảng cách giữa hai địa điểm

khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp. . .

Tuy nhiên, các dạng bài tập về các hệ thức trong tam giác chưa được thể

hiện phong phú trong chương trình toán học phổ thông và các ứng dụng

thực tế của các hệ thức trong tam giác không được đề cập đúng mức vô

tình không tạo được động lực và niềm đam mê khi học toán cho học sinh.

Với những lý do như vậy, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hoàng Nhật

Quy, tôi đã chọn đề tài “Các hệ thức trong tam giác và một số ứng

dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

• Nhằm tìm hiểu các hệ thức trong tam giác và ứng dụng của các hệ

thức đó trong giải các bài toán thực tế. Kết quả của đề tài là cơ sở để

xây dựng các chủ đề hoạt động trải nghiệm và thực hành cho học sinh vận

dụng các kiến thức và công cụ về hệ thức lượng trong tam giác vào giải

quyết tình huống thực tế.

• Xây dựng chủ đề giáo dục STEM nhằm đáp ứng mục tiêu giáo