các dạng tích phân và cách tính ôn thi đại học

Tích phân ôn thi đại học Võ Hữu Quốc

– 1

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH

A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng

( )

( )

P x

Q x

Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:

Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1:

1 1 2

0 0

2 3 5 19 2 7

2 2

x x I dx x dx

x x

+ +  

= = + +  

− −   ∫ ∫ = ( )

2 1

0

x x x + + − 7 19ln | 2 | |

Chú ý: 2

1

b

a

I dx

ax bx c

=

+ + ∫

(Rất quan trọng trong tích phân hữu tỉ)

TH1: Mẫu có 2 nghiệm. Đặt 2

1

ax bx c + + 1 2

A B

x x x x

= +

− −

giải ra tìm A, B

Ví dụ 2:

1 1

2

0 0

1 1

3 2 ( 1)( 2)

I dx dx

x x x x

= =

+ + + + ∫ ∫ .

Làm ngài nháp:

1 ( 2) ( 1) ( ) 2 0 1

( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1 1

A B A x B x A B x A B A B A

x x x x x x x x A B B

+ + + + + +   + = =

= + = = ⇒   ⇔

+ + + + + + + +   + = = −

Khi đó ( )

1 1 1

1

2 0

0 0 0

1 1 1 1 ln | 1| ln | 2 | |

3 2 ( 1)( 2) 1 2

I dx dx dx x x

x x x x x x

 

= = = − = + − +   + + + + + +   ∫ ∫ ∫

TH2: Mẫu có 1 nghiệm. Phân tích ( )2 2

0

ax bx c a x x + + = − . Tính trực tiếp

Ví dụ 3:

1 1

1

2 2 0

0 0

1 1 1 |

4 4 ( 2) 2

I dx dx

x x x x

−

= = =

+ + + + ∫ ∫

TH3: Mẫu vô nghiệm. Phân tích

2

2

2

2 4

b

ax bx c a x

a a

    ∆

+ + = + −        

. Đặt 2

tan

2 4

b

x t

a a

∆

+ = −

Ví dụ 4:

1 1

2 2

0 0

1 1

4 7 ( 2) 3

I dx dx

x x x

= =

+ + + + ∫ ∫

Đặt 2

x t dx t dt + = 2 3 tan 3(1 tan ) ⇒ = + . đổi cận

2 3 0 tan , 1 tan

3 3

x t Arc x t Arc = ⇒ = = ⇒ =

khi đó

arctan3/ 3 arctan3/ 3 arctan3/ 3

2 2 arctan3/ 3

2 2 arctan 2/ 3

arctan 2/ 3 arctan 2/ 3 arctan 2/ 3

1 1 1 1 .(1 tan ) .(1 tan ) |

( 3 tan ) 3 3(tan 1) 3 3

I t dt t dt dt t

t t

= + = + = =

+ +

∫ ∫ ∫

Đặc biệt: + 2

1

I dx

x a

=

+

∫

. Đặt a t x tan = + 2

1

I dx

x a

=

−

∫

là dạng TH1 (a > 0)

Ví dụ 5: a)

1

2

0

1

5

I dx

x

=

+

∫

. Đặt x t = 5 tan . Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4

b)

1 1

2

0 0

1 1

5 ( 5)( 5)

I dx dx

x x x

= =

− − + ∫ ∫ . Giải tương tự Ví dụ 2

Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)

+ 2 2

( ) 1

.

( ) ( )

n n

n

ax b ax b I dx dx

cx d cx d cx d +

+ +  

= =   + + +   ∫ ∫ . Từ đây đặt t = ax b

cx d

+

+

Ví dụ 6: a)

3 1 1 3

5 2

0 0

(2 3) 2 3 1

.

(4 1) 4 1 (4 1)

x x I dx dx

x x x

+ +  

= =   + + +   ∫ ∫ . Đặt 2

2 3 10

4 ) 1 (4 1

x

dt dx

x x

t

+ −

⇒ =

+ +

=