Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 1
Đề tài:
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh
SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Lớp: 09ST
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 2
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................... 1
Chương I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.......................... 3
1.1 Hệ thức lượng giác cơ bản ...................................................................... 3
1.2 Cung (góc) có liên quan đặc biệt ............................................................ 3
1.3 Công thức lượng giác .............................................................................. 5
Chương II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.............................................................. 8
2.1 Phương trình lượng giác cơ bản.............................................................. 8
2.1.1 Phương trình dạng sin x = m......................................................... 8
2.1.2 Phương trình dạng cos x = m ........................................................ 8
2.1.3 Phương trình dạng tan x = m......................................................... 9
2.1.4 Phương trình dạng cot x = m......................................................... 9
2.2 Phương trình lượng giác đơn giản......................................................... 10
2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ............... 10
2.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................. 12
2.2.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x.................................. 15
2.2.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x, cos x .................. 18
2.2.5 Phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin x, cos x ................... 22
2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt ..................................... 25
2.3.1 Phương trình tích......................................................................... 25
2.3.2 Phương trình đối xứng theo sin x, cos x ..................................... 34
2.3.3 Phương trình đối xứng theo tan x, cot x...................................... 38
2.3.4 Phương trình lượng giác đặt ẩn phụ để biến đổi thành phương trình
đại số............................................................................................ 40
2.3.5 Phương trình lượng giác không mẫu mực................................... 44
2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số ................................................. 55
Chương III. GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CÓ
TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
(từ năm 2002 đến năm 2012) ......................................................... 68
CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ...................................................94
KẾT LUẬN ..........................................................................99
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................. 100
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Toán học ở bậc Trung học phổ thông, lượng giác là
một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức
này khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng
buộc giữa góc và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thật sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho các em học sinh. Hơn nữa
các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời sống giải tích và hình
học và đồng thời đây cũng là một phần bài tập có trong các đề thi đại học.
Là một sinh viên ngành sư phạm Toán học, một cô giáo dạy Toán tương
lai, tôi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu và hệ thống hóa lại một cách đầy
đủ hơn về các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải đối với
từng dạng. Do đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:
“Các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải”
2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu về các dạng phương trình lượng giác và
cách giải cho từng dạng cụ thể có trong chương trình toán phổ thông.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương
Chương I. Trình bày các công thức lượng giác
Chương II. Trình bày các dạng phương trình lượng giác và phương
pháp giải
2.1 Phương trình lượng giác cơ bản
2.2 Phương trình lượng giác đơn giản
2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt
2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số
Chương III. Giải các bài toán lượng giác có trong đề thi đại học
(từ năm 2002 đến năm 2012)
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 4
Đề tài được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà
Nẵng dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Nguyễn Thị Sinh.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
Tác giả
Mai Thị Phương Thảo
CHƯƠNG I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.1 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2 2 cos sin 1
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 5
sin cos
tan ; cot
cos sin
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
1.2 CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
STT Hai cung Gọi là hai
cung
Công thức Cách nhớ
1 (-
) và
Đối nhau cos(-
) = cos(
)
sin(-
) = - sin(
)
tan(-
) = - tan(
)
cot(-
) = - cot(
)
“ cos đối ”
2 (
) và
Bù nhau sin(
) = sin(
)
cos(
) = -cos(
)
tan(
) = -tan(
)
cot(
) = -cot(
)
“ sin bù ”
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
2
2
2
2
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 6
3
2
và
(
)
Phụ nhau
sin
2
= cos(
)
cos
2
= sin(
)
tan
2
= cot(
)
cot
2
= tan(
)
“ phụ chéo”
4 (
) và
(
)
Sai kém
tan(
) = tan(
)
cot(
) = cot(
)
cos(
) = -cos(
)
sin(
) = -sin(
)
“Sai
tan”
5
2
và
(
)
Sai kém
2
sin
2
= cos(
)
cos
2
= -sin(
)
tan
2
= -cot(
)
cot
2
= -tan(
)
“ 2 cung sai
kém
2
thì
sin (cung lớn)
= cos (cung
nhỏ)”
Hệ quả: A, B, C là 3 góc của 1 tam giác, ta có: A + B + C =
. Do đó:
A + B =
- C (bù nhau)
2 2 2
A B C
( phụ nhau )
sin(A+B) = sinC
cos(A+B) = - cosC
tan(A+B) = - tanC
cot(A+B) = - cotC
sin
2
A B
= cos
2
C
cos
2
A B
= sin
2
C
tan
2
A B
= cot
2
C
cot
2
A B
= tan
2
C
1.3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 7
Công thức cộng
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
tan tan tan( )
1 tan tan
tan tan tan( )
1 tan tan
Công thức nhân đôi
sin2 2sin cos
2 2 cos2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1
2 2
2
2tan tan 2
1 tan
Hệ quả1:
1
sin cos sin2
2
2
1 cos2 2cos
2
1 cos2 2sin
Hệ quả2: Đặt
tan
2
t
ta có:
2
2
2
2
2
sin
1
1
os
1
2
tan
1
t
t
t
c
t
t
t
Công thức nhân ba
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 8
3
sin3 3sin 4sin
3
cos3 4cos 3cos
3
2
3tan tan tan3
1 3tan
Công thức hạ bậc
2 1 cos2
cos
2
2 1 cos2 sin
2
2 1 cos2
tan
1 cos2
3 3cos cos3
cos
4
3 3sin sin3 sin
4
3 3sin sin3
tan
3cos cos3
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 9
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
sin( )
cot cot
sin sin
Hệ quả:
sin cos 2 sin
4
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
cos sin 2 cos
4
CHƯƠNG II.
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 10
2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2.1.1 Phương trình dạng sin x = m (*)
Phương pháp giải:
Nếu |m| > 1: phương trình (*) vô nghiệm
Nếu |m|
1: Phương trình (*) có nghiệm
Gọi
là số đo của góc sao cho
sin m
Ta có:
2
(*) sin sin ,
2
x k
x k Z
x k
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 2 ,
2
sin 1 2 ,
2
sin 0 ,
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z
2.1.2 Phương trình dạng cos x = m (*)
Phương pháp giải:
Nếu |m| > 1: phương trình (*) vô nghiệm
Nếu |m|
1: Phương trình (*) có nghiệm
Gọi
là số đo của góc sao cho cos
= m
Ta có:
2
(*) cos cos ,
2
x k
x k Z
x k
Các trường hợp đặc biệt:
cos 1 2 , x x k k Z
cos 1 2 ,
cos 0 ,
2
x x k k Z
x x k k Z
2.1.3 Phương trình dạng tan x = m (*)