Bộ đề thi và lời giải xác suất thống kê

Page 1

BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ1

1. Đường kính của một loại trục máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

ĐỀ SỐ 1

2 2 N mm mm ( 250 ; 25 ) µ σ = = . Trục máy được gọi là hợp quy cách nếu đường kính từ

245mm đến 255mm. Cho máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để:

a. Có 50 trục hợp quy cách.

b. Có không quá 80 trục hợp quy cách.

2. Quan sát một mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg):

X

Y

150-155 155-160 160-165 165-170 170-175

50 5

55 2 11

60 3 15 4

65 8 17

70 10 6 7

75 12

a. Ước lượng chiều cao trung bình với độ tin cậy γ = 95% .

b. Những người cao từ 170cm trở lên gọi là quá cao. Ước lượng trọng lượng trung bình

những người quá cao với độ tin cậy 99%.

c. Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ những người quá nặng ( ≥ 70kg ) là 30%. Cho

kết luận về tài liệu đó, với mức ý nghĩa α =10% .

d. Lập phương trình tương quan tuyến tính của Y theo X.

BÀI GIẢI

1. Gọi D là đường kính trục máy thì 2 2 D N mm mm ∈= = ( 250 ; 25 ) µ σ .

Xác suất trục hợp quy cách là:

1 Đề thi:GS Đặng Hấn. Lời giải:Th.S Lê Lễ.

Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS.

Page 2

255 250 245 250 [245 255] ( ) ( ) (1) ( 1) 5 5 pp D − − = ≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ − 2

=Φ −= −= 2 (1) 1 2.0,8413 1 0,6826 .

a. Gọi E là số trục máy hợp quy cách trong 100 trục,

2 E B n p ∈ = = ≈ == = = ( 100; 0,6826) ( 68, 26; 21,67) N np µ σ npq

50 50 50

100

1 50 68, 26 1 [ 50] 0,6826 .0,3174 ( ) ( 3,9) 21,67 21,67 21,67 pE C ϕ ϕ − = = ≈ =− 3

1 1 (3,9) .0,0002 0,00004 21,67 21,67 = ϕ = =

b. 80 68, 26 0 68, 26 [0 80] ( ) ( ) (2.52) ( 14,66) 21,67 21,67 p E − − ≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ −

=Φ +Φ − = + − = (2.52) (14,66) 1 0,9941 1 1 0,9941

2.

a. n=100, 5,76 x S = , X =164,35

α γ =− =− = 1 1 0,95 0,05

(0,05;99) t =1,96 4

1,96.5,76 1,96.5,76 164,35 164,35

100 100

x x S S Xt Xt

n n

− ≤≤ + ⇒ − ≤≤ + µ µ

Vậy 163, 22 165, 48 cm ≤ ≤ µ cm

2 Dùng định lý tích phân Laplace . Tra bảng phân phối chuẩn tắc với lưu ý: Φ − = −Φ ( 1) 1 (1)

3 Dùng định lý Laplace địa phương . Tra hàm mật độ chuẩn tắc với lưu ý hàm mật độ chuẩn tắc là hàm chẵn.

4 Tra bảng phân phối Student, α = 0,05 và 99 bậc tự do. Khi bậc tự do n>30, ( ;) , () 1 2 n t uu α

α = Φ =− .

Page 3

b. 19 qc n = , 73,16 Y

qc = , 2, 48 qc S =

α γ =− =− = 1 1 0,99 0,01

(0,01;18) t = 2,878

2,878.2, 48 2,878.2, 48 73,16 73,16

19 19 qc qc

qc q

q

c

c qc

S S

Yt Yt

n n

− ≤≤ + ⇒ − ≤≤ + µ µ

Vậy 71,52 74,80 kg ≤ ≤ µ kg

c. 0 1 Hp Hp : 0,3; : 0,3 = ≠

35 0,35 100 f = =

0

0 0

0,35 0,3 1,091 (1 ) 0,3.0,7

100

tn

f p U

p p

n

− − = = = −

0,05, ( ) 1 0,975 1,96 2

U U α

α = Φ =− = ⇒ = 9 (hoặc (0,05) t =1,96 )

| | U U tn < , chấp nhận H0 :tài liệu đúng.

d. xy

y x

yy xx r

s s

− − = ⇒ y x =− + 102,165 1,012 .