BD_HSG_PHUONG_TRINH_NGHIEM_NGUYEN.1 pps

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN GVBM: Lưu Văn Minh

PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN

CAÙC PHÖÔNG PHAÙP THÖÔØNG DUØNG GIAÛI PT NGHIEÄM NGUYEÂN

I/ SÖÛ DUÏNG TÍNH CHAÁT CHIA HEÁT:

Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c nhau th× ph¬ng tr×nh ®ã

kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. 2 2

x y = 2 (1)

Gi¶i:

Râ rµng x = y = 0 lµ nghiÖm cña (1).

NÕu 0 0 x y, 0 ≠ vµ 0 0 ( , ) x y lµ nghiÖm cña (1). Gäi 0 0 d x y = ( , ), suy ra

0 0 , 1. x y

d d

 

=  ÷  

Ta cã:

2 2

2 2 0 0 0

0 0 2 2 x y x

x y

d d d

   

= ⇒ = ⇒  ÷  ÷    

ch½n

2

0 0 2 4 y x

d d

   ÷ ⇒

  M ch½n, v« lý.

VËy ph¬ng tr×nh (1) chØ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ (0,0).

VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. 2 2

x y − = 2 5 (1)

Gi¶i:

1)NÕu xM5 th× ( ) ( )

2 2 2 2 2 5 5 5 2 25 y x y x y = − ⇒ ⇒ − M M M v« lý.

2)NÕu xM/ 5th× tõ y M/ 5 ta cã 2

x ≡ ±1(mod5) vµ 2

y ≡ ±1(mod5)suy ra 2 2

x y − ≡ ± ± 2 1, 3(mod5). VËy ph¬ng

tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn trong phÐp chia cho 8 kh«ng thÓ cã d

lµ 7 tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh 2 2 2 4 25 144 2007 x y z + + = kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

Gi¶i:

Gi¶ sö: 2 2 2

x y z + + = 7(mod8) mµ x ≡ ± ± ± ± 0, 1, 2, 3 ,4(mod8) nªn 2

x ≡ 0,1,4(mod8) suy ra

2 2

y z + = 7,6,3(mod8) nhng 2 2

y z + = 0,1,2,4,5,(mod8) v« lý. VËy 2 2 2

x y z + + M/ 7(mod8)

Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt: 2 2 2 (2 ) (5 ) (12 ) 6 125 7 x y z + + = × + Tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã

nghiÖm nguyªn.

VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn: 4 4 4

1 2 7 x x x + + + = .... 2008.

Gi¶i:

1)NÕu x = 2k th× xM16 .

2)NÕu x = 2k + 1 th× 4 2

x x x x − = − + + 1 ( 1)( 1)( 1) 16, M v× ( 1)( 1) 8 x x − + M vµ 2

( 1) 2 x + M .

VËy 4

x ≡ 0;1(mod16) Do ®ã khi chia tæng 4 4 4

1 2 7 x x x + + + .... cho 16 cã sè d kh«ng vît qu¸ 7, trong khi ®ã

2008 8(mod16) ≡ . Suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

Ví duï 1: Giaûi pt vôùi nghieäm nguyeân: 3x + 17y = 159 (1)

Giaûi: Giaû söû x, y laø caùc soá nguyeân thoaõ maõn pt (1).

Ta thaáy 159 vaø 3x ñeàu chia heát cho 3 neân 17yM 3; Do ñoù y M 3 (vì 17 vaø 3 nguyeân toá cuøng nhau)

Ñaët y = 3t (t∈ Z). Thay vaøo (1) ta ñöôïc: 3x + 17.3t = 159 <=> x = 53 – 17t

Ñaûo laïi, thay caùc bieåu thöùc x, y vaøo (1), pt cuõng nghieäm ñuùng.

Vaäy pt (1) coù voâ soá nghieäm nguyeân (x, y) ñöôïc bieåu thò bôûi coäng thöùc:







=

= −

y t

x t

3

53 17

(t∈ Z).

Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa pt: x2

– 2y2

= 5 (2)

Giaûi: Töø pt (2) ta suy ra x phaûi laø soá leû. Thay x = 2k + 1 (k∈ Z) vaøo (2), ta ñöôïc:

4k2

+ 4k + 1 – 2y2

<=> 2(k2

+ k – 1) = y2

=> y2

laø soá chaün. Ñaët y = 2t (t∈ Z), ta coù:

2(k2

+ k – 1) = 4t2

<=> k2

+ k – 1 = 2t2

<=> k(k + 1) = 2t2

+ 1 (**)

Nhaän xeùt: k(k + 1) laø moät soá chaün, 2t2

+ 1 laø soá leû => pt (**) voâ nghieäm

Trường THCS Mỹ Thành 1