Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————————————

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM -

OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM -

OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Lời cam đoan

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.

Tôi xin cam đoan đây là công trình của tôi. Các kết quả đưa vào luận án đều được

sự đồng ý của các đồng tác giả là GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn và PGS.TS. Nguyễn

Bá Minh. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ

công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Quỳnh Hoa

ii

Lời cảm ơn

Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác

giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của

mình. Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn và luôn động viên, khích lệ tác giả trong

suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm -

Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, cùng các thầy, các cô tham gia

giảng dạy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó,

tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản và

Bộ môn Toán của trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh - Đại học Thái

Nguyên đã luôn tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể học tập và hoàn thành

luận án của mình.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các

anh chị em nghiên cứu sinh đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

tập, nghiên cứu và làm luận án.

Tác giả

Nguyễn Quỳnh Hoa

iii

Mục lục

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vi

Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức cơ bản 7

1.1 Không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . 12

1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Các khái niệm cơ bản về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Ánh xạ đa trị và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục . . . 27

Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát 32

2.1 Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát . . . . . . . . . . 34

2.2 Bài toán với hàm mục tiêu là tích Đề các của hai ánh xạ . . . . . . . . 53

Chương 3. Một số bài toán liên quan 73

3.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

iv

3.3 Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Kết luận chung và kiến nghị 104

Tài liệu tham khảo 106

v

vi

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

R tập hợp các số thực

R

+ tập các số thực không âm

2

X tập các tập con của tập hợp X

X

∗

không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X

hp, xi giá trị của p ∈ X

∗

tại x ∈ X

F : X → 2

Y

ánh xạ đa trị từ tập Xvào tập Y

Gr(F) đồ thị của hàm F

dom(F) miền xác định của hàm F

F

−1

hàm ngược của hàm F

u.s.c nửa liên tục trên

l.s.c nửa liên tục dưới

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

∅ tập rỗng

{xα} dãy suy rộng

coA bao lồi của tập hợp A

coneA bao nón lồi của tập hợp A

clA, A¯ bao đóng tôpô của tập hợp A

intA phần trong tôpô của tập hợp A

vii

A ⊆ B A là tập con của B

A ∪ B hợp của hai tập hợp A và B

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

A × B tích Đề các của hai tập hợp A và B

A\B hiệu của hai tập hợp A và B

1

Mở đầu

Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các

ngành khoa học, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại?

Tồn tại như thế nào?

Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với bài toán tồn tại

hay không tồn tại nghiệm của phương trình. Bài toán này được phát biểu như sau:

Tìm x ∈ D sao cho

F(x) = 0, (1)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào

không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử.

Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao

cho

f(x) ≤ f(x), với mọi x ∈ D, (2)

trong đó, D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian

các số thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu.

Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào

giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây

dựng lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được

gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý

thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý

thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác

lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược

lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f

0

, bài toán (2)

2

tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho

x = PD(x − f

0

(x)),

với PD(x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F(x) = 0, với F(x) =

PD(x − f

0

(x)) − x. Bằng cách đặt này, ta có bài toán (2) tương đương với bài toán

(1).

Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc

tính hàm số f và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không

gian Euclid n chiều R

n

, bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947,

G. B. Dantzig [21], nhà toán học Mỹ đã tìm ra thuật toán đơn hình để giải bài

toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian R

n và f là hàm lồi thì (2) được

gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, R. T.

Rockaffelar [66] đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải

tích lồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz

địa phương và D là tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau

những năm 1970, nhà toán học Mỹ, F. H. Clarke [20] đã xây dựng dưới vi phân của

hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quy hoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm

liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toán quy hoạch liên tục. Những

năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, V. Jeyakumar và D. T.

Luc [38] đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục.

Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia [44] đã đưa ra bài toán bất

đẳng thức biến phân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian R

n

, T : D → R

n

.

Tìm x ∈ D sao cho

hT(x), x − xi ≥ 0, với mọi x ∈ D. (3)

Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng

quát: Tìm x ∈ D sao cho

hT(x), x − xi + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D, (4)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X∗

là không gian đối

3

ngẫu của X, T : D → X∗

là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực.

Năm 1994, Blum và Oettli [14] đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh

xạ f : D × D → R, f(x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho

f(t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D. (5)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng định lý

về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất

động Browder.

Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,

bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những

trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm

tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước

cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ.

Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng

được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được

gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân

bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các

tác giả N. X. Tan và N. B. Minh [49], Bailaij và D. T. Luc [11], N. X. Tan và P. N.

Tinh [61], P. H. Sach và L. A. Tuan [56], N. X. Hai và P. Q. Khanh [34], L. J. Lin

và N. X. Tan [43], T. T. T. Duong và N. X. Tan [24], B. T. Hung và N. X. Tan [37],

N. T. Q. Anh và N. X. Tan [8], ... đã phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự

tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là những ánh xạ đa trị.

Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ,

ánh xạ đa trị đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2

Y

. Tìm x ∈ D

sao cho

0 ∈ F(x), (6)

trong đó, X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là

một tập con của X. Bài toán (6) được gọi là bài toán cân bằng tổng quát hay còn

được gọi là phương trình đa trị.