Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN

Đề tài:

BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Đà Nẵng, tháng 5/2015

Giáo viên hƣớng dẫn : ThS. Nguyễn Thị Sinh

Sinh viên thực hiện : Võ Thị Hạnh

Ngành đào tạo : Sƣ phạm Toán

Lớp : 11ST

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 2

MỤC LỤC

PHẦN 1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ

NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC................................................... 4

PHẦN 2. PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC ................................................... 7

1. Phương pháp lượng giác ................................................................................... 7

1.1. Phương pháp:.................................................................................................. 7

1.2. Các bài toán minh họa:................................................................................... 8

2. Phương pháp đại số ......................................................................................... 16

2.1. Phương pháp:................................................................................................ 16

2.2. Các bài toán minh họa:................................................................................. 16

3. Phương pháp giải tích...................................................................................... 22

3.1. Phương pháp: .............................................................................................. 23

3.2. Các bài toán minh họa:................................................................................. 23

4. Phương pháp tọa độ......................................................................................... 28

4.1 Sử dụng quy tắc ba điểm............................................................................... 28

4.2 Sử dụng bất đẳng thức về trị tuyệt đối .......................................................... 29

4.3 Các bài toán minh họa:.................................................................................. 29

PHẦN 3. LƢỢNG GIÁC HÓA CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT........................................................................ 35

1. Một số dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải

các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. ............................ 35

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 3

2. Các bài toán minh họa:.................................................................................... 40

PHẦN 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ..... 47

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 57

I. Nhận xét và đánh giá chung về đề tài .............................................................. 57

1. Kết quả đạt được ............................................................................................. 57

2. Hạn chế............................................................................................................ 57

II. Hướng phát triển của đề tài ............................................................................ 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 58

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 4

PHẦN 1

GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông là

dạy học sinh về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán,

giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và

hình thành tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho

học sinh giải bài tập. Từ đó, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy cho học

sinh phương pháp giải các dạng toán.

Chương trình toán trung học phổ thông có rất nhiều dạng bài tập khác

nhau. Trong đó có rất nhiều dạng khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận

về số nghiệm của phương trình, bất phương trình...Và dạng bài: “ Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng” cũng nằm trong số đó. Đây thực sự

là một chuyên đề khó của chương trình toán trung học phổ thông bởi vì các bài

toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này rất rộng. Và nó

lại là một trong những dạng toán được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi

tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng, sách giáo khoa có

rất ít bài tập dạng này. Do đó, việc hệ thống lại các dạng toán “Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất” cũng như cung cấp cho học sinh các phương pháp giải

dạng toán này là một việc làm cần thiết, giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong

việc tiếp cận với các bài toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”.

Trước hết ta định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số f xác định trên tập

D

(

D

a) Nếu tồn tại một điểm

D

sao cho

với mọi

D

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 5

thì số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên

D

, kí hiệu là

max f x( )

x D

M





b) Nếu tồn tại một điểm

D

sao cho

với mọi

D

thì số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên

D

, kí hiệu là

min f x( )

x D

m



 .

Việc giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một miền

xác định D đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều khi khá độc

đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán thường gặp trong

thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định ( nhiều nhất, ít

nhất, nhanh nhất, chậm nhất,...). Chính điều đó làm cho học sinh thấy được tính

thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo nên sự thích thú

cho học sinh trong quá trình giải toán.

Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề

do cuộc sống thực tiễn đặt ra. Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu

mới mang lại thành công trong cuộc sống (cách giải quyết tối ưu là những

phương án đúng nhất ít hao phí nhất về: vật liệu, thời gian, công sức, năng

lượng, chi phí thiệt hại...). Những lúc như vậy, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích.

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất rất phong phú và đa dạng.

Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn đại học, tôi chọn hàm số lượng

giác để nghiên cứu với phạm vi nghiên cứu là các bài toán trong chương trình

trung học phổ thông.

Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán

trong tương lai, tôi đưa ra 4 phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số lượng giác cũng như lượng giác hóa các bài toán tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 6

trong các bài tập có chứa tham số thông qua việc nghiên cứu đề tài: “Bài toán

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lƣợng giác” và chọn đó là đề

tài luận văn tốt nghiệp của mình.