Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-ampère elliptic

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH

MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH

MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS.HÀ TIẾN NGOẠN

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 4

1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . . 4

1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic . . 4

1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère

elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Phương pháp liên tục đối với bài toán Dirichlet . . . . . . . 7

1.2.1 Đặt bài toán Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Không gian Ho¨lder C

k,α (Ω). . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Nội dung của phương pháp liên tục. . . . . . . . . . 9

1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài toán Dirichlet trong không gian

C

2

￾

Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω. . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Bước 3. Đánh giá

D2u

 trên ∂Ω. . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Bước 4. Đánh giá

D2u

 trong Ω . . . . . . . . . . . 18

2 Đánh giá đạo hàm cấp hai của nghiệm bài toán Dirichlet

trong không gian Ho¨lder 20

2.1 Đánh giá chuẩn Ho¨lder đối với nghiệm của phương trình

elliptic tuyến tính và đạo hàm cấp một của nó. . . . . . . . 20

2.1.1 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Đánh giá chuẩn Ho¨lder đối với nghiệm . . . . . . . . 21

2.1.3 Đánh giá chuẩn Ho¨lder trên biên đối với đạo hàm

cấp một theo pháp tuyến của nghiệm . . . . . . . . 23

2.2 Đánh giá đạo hàm cấp hai bên trong miền . . . . . . . . . . 27

2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai trên toàn miền . . . . . . . . . . 31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/