Bài toán cực trị và ứng dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ THU THUẬN

BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa hoc: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. TRƢƠNG CÔNG QUỲNH

Phản biện 2: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

12 và 13 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Các bài toán cực trị của hàm một biến hoặc hàm nhiều biến là một

trong những bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng đa dạng

trong các lĩnh vực khác nhau. Những bài toán như tìm đường đi ngắn

nhất, tìm góc nhìn lớn nhất, tính tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng

chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất… là những

yêu cầu rất tự nhiên, xuất phát từ quá trình sản xuất và đời sống.

Các bài toán cực trị đã được giảng dạy trong chương trình toán học

phổ thông, và đặc biệt chiếm một tỉ trọng đáng kể trong chương trình

đại học chuyên ngành toán. Mặc dù vậy, rất ít tài liệu bằng tiếng việt

trình bày một cách đầy đủ, logic các bài toán cực trị tự do, cực trị có

điều kiện cũng như các phương pháp giải và ứng dụng của nó.

Là một giáo viên trung học phổ thông, với nhu cầu nâng cao trình

độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, tôi muốn tìm hiểu sâu hơn

các bài toán cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm một và

nhiều biến số, các phương pháp giải bài toán cực trị cũng như các

ứng dụng của nó để giải toán ở trung học phổ thông. Vì thế tôi chọn

đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Bài toán cực trị và ứng

dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu

Luận văn “Bài toán cực trị và ứng dụng” nhằm nghiên cứu các bài

toán cực trị và ứng dụng của nó để giải một số bài toán ở trung học

phổ thông.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Các bài toán cực trị cho hàm một biến và nhiều biến, các phương

pháp cơ bản giải bài toán và một số ứng dụng bài toán cực trị để giải

toán trong chương trình toán học phổ thông.

2

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Phát biểu các bài toán cực trị cho hàm một biến, cực trị cho hàm

nhiều biến. Sử dụng các phương pháp và lý thuyết cơ bản về hàm

liên tục, hàm khả vi để nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm của

bài toán cũng như các phương pháp để giải bài toán đó.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực hành. Đề tài

đóng góp thiết thực vào việc nghiên cứu bài toán cực trị của hàm một

và nhiều biến số, nâng cao năng lực, kiến thức cho người dạy và học

toán. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho học

sinh, sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm đến bài toán

tìm cực trị của hàm số.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3

chương.

Chương 1. Trình bày về không gian n-chiều

n 

và một số khái

niệm khác. Hàm nhiều biến trong không gian

.

n 

Chương 2. Trình bày về bài toán cực trị đó là cực trị hàm một biến,

cực trị hàm nhiều biến cụ thể là trình bày cực trị tự do của hàm một

biến, cực trị có điều kiện của hàm một biến, cực tự do của hàm nhiều

biến, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.

Chương 3. Trình bày về ứng dụng bài toán cực trị để giải toán ở

trung học phổ thông đó là ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng

thức, ứng dụng cực trị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức chứa nhiều biến, ứng dụng cực trị tìm điều kiện có nghiệm

của phương trình, bất phương trình, ứng dụng cực trị trong hình học.

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này đề cập tới một số khái niệm cơ bản về giải tích liên

quan tới không gian

,

n 

Hàm số nhiều biến trong không gian

.

n 

Nội dung của chương dựa chủ yếu trên các nguồn tài liệu [1], [2],

[3] [4].

1.1. KHÔNG GIAN n-CHIỀU

n 

VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ

BẢN

1.1.1. Không gian n-chiều

n 

Định nghĩa 1.1.1. (Tích vô hƣớng)

Định nghĩa 1.1.2. (Độ dài của vectơ)

Định nghĩa 1.1.3. (Khoảng cách giữa 2 điểm)

1.1.2. Một số khái niệm khác

Định nghĩa 1.1.4. (Hình cầu)

Định nghĩa 1.1.5. (Tập mở trong

n 

)

Mệnh đề 1.1.6. (Về các tập mở trong

n 

)

Mệnh đề 1.1.7.

Định nghĩa 1.1.8. (Tập đóng trong

n 

)

Mệnh đề 1.1.9. (Về các tập đóng trong

)

n 

Định nghĩa 1.1.10. (Tập bị chặn trong

)

n 

Định lý 1.1.11. (Cận trên và cận dƣới của tập hợp

)

Định nghĩa 1.1.12. (Heine – Borel -Tập compact trong

)

n 

Định nghĩa 1.1.13. (Tập liên thông trong

)

n 

1.2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN TRONG KHÔNG GIAN

n 

1.2.1. Hàm số nhiều biến số

1.2.2. Giới hạn của hàm số nhiều biến số

1.2.3. Tính liên tục của hàm nhiều biến số

1.2.4. Đạo hàm của hàm nhiều biến

1.2.5. Hàm lồi và hàm lõm

4

CHƢƠNG 2

BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Chương này trình bày các bài toán cực trị tự do và cực trị có điều

kiện đối với hàm một biến và hàm nhiều biến. Giới thiệu khái quát

các điều kiện cần, điều kiện đủ và trình bày một số phương pháp tìm

cực trị thông dụng. Nhằm tìm được nghiệm của bài toán cực trị.

Chúng ta tách bài toán cực trị trên

n 

thành hai trường hợp: cực

trị hàm một biến

( 1) n 

và cực trị hàm nhiều biến

( 1). n 

Chúng ta

phân chia như vậy là vì bài toán cực trị hàm một biến được đề cập

và sử dụng ở chương trình phổ thông. Hơn nữa, cơ sở lí thuyết cho

bài toán cực trị một biến khá đơn giản, dễ hiểu và đặc biệt các ý

tưởng chính trong nghiên cứu bài toán cực trị hàm một biến có thể

khái quát cho trường hợp hàm nhiều biến. Một lí do khác là phương

pháp giải những bài toán này khá đơn giản và sẽ được ứng dụng chủ

yếu trong chương sau. Chứng minh các định lý và mệnh đề trong

chương này có thể tìm thấy ở tài liệu [4].

2.1. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN

2.1.1. Cực trị tự do của hàm một biến

Xét bài toán cực trị tự do của hàm một biến có dạng

min ( ),

x

f x



(2.1.1)

trong đó

f x( )

là một hàm số một biến trên

.

Một điểm (số thực)

0

x 

được gọi là một nghiệm của Bài toán

(2.1.1) nếu

0

f x f x ( ) ( ) 

với mọi

x.

Khi đó,

0

x

được gọi là

điểm cực tiểu toàn cục của hàm

f

trên



và

0

f x( )

được gọi là giá

trị cực tiểu toàn cục. Giải Bài toán (2.1.1) là đi tìm một (hoặc tất cả)

các nghiệm của nó.

Đối với học sinh phổ thông thì bài toán này là bài toán tìm giá trị

nhỏ nhất của hàm số

y f x  ( )

trên



(hay nghiệm của bài toán là

5

cực tiểu toàn cục của

f x( )

trên

).

Như vậy nghiệm của bài toán là

giá trị nhỏ nhất của hàm số

f x( )

trên

.

Khi nghiên cứu Bài toán (2.1.1), chúng ta cần trả lời các câu hỏi

sau:

1. Bài toán có nghiệm hay không? Với điều kiện nào thì bài toán có

nghiệm (duy nhất)?

2. Làm thế nào để chúng ta tìm nghiệm của bài toán?

Chú ý rằng, do

max ( ) min ( ) , f x f x    

 

và tập nghiệm của hai

bài toán này là trùng nhau, nên đối với bài toán tìm x sao cho f (x)

đạt cực đại cũng chính là tìm x để  f x( )

đạt cực tiểu. Do đó ta chỉ

xét bài toán tìm cực tiểu của hàm số

f x( )

và lý thuyết cực tiểu (hay

cực đại) của hàm lồi cũng chính là lý thuyết cực đại (hay cực tiểu)

của hàm lõm.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực trị tự do

Mệnh đề 2.1.1. Nếu

f :  

là hàm liên tục trên



và

( ) k

f x 

với mỗi dãy

xk

thỏa

k

x 

hay nếu tập

x f x | ( ) 

đóng và bị chặn dưới

  ,

thì tồn tại một điểm

cực tiểu toàn cục trên

.

Chứng minh. Đặt

F D x f x ( ) | ( ) .  



 

Ta có

F D( ) 

bị chặn

dưới. Đặt

0  inf ( ) F D



thì

0   .

Do

F D( ) 

đóng, suy ra

0  inf ( ). F D  0 0 0     x f x : ( ). 

Vậy

0

x

là một điểm cực tiểu của

f

trên

.

Nghiệm của bài toán cực trị tự do

Định nghĩa 2.1.2. (Điểm cực tiểu địa phƣơng)

Xét hàm của một biến số

y f x    xác định trên

.

1. Hàm số

f :  

được gọi là đạt cực tiểu địa phương tại điểm

0

x

nếu tồn tại một lân cận

V

của

0

x

sao cho

( ) ( ), . o

f x f x x V   

Khi đó

0

x

được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm

f .

6

2. Hàm số

f :  

được gọi là đạt cực tiểu địa phương chặt tại

điểm

0

x

(hay còn gọi cực tiểu địa phương thực sự tại điểm

0

x )

nếu

tồn tại một lân cận

V

của

0

x

sao cho

( ) ( ), . o

f x f x x V   

Định nghĩa 2.1.3. (Điểm cực tiểu toàn cục)

1. Hàm

f :  

được gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại điểm

0

x

nếu

0

f x f x ( ) ( ) 

với mọi

x.

Khi đó

0

x

được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của hàm

f .

2. Hàm

f :  

được gọi là đạt cực tiểu toàn cục duy nhất tại

điểm

0

x

nếu

0

f x f x ( ) ( ) 

với mọi

x

trong miền xác định

0

x x  .

Chú ý 2.1.4. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi

chung là cực trị địa phương. Cực đại địa phương chặt và cực tiểu

địa phương chặt được gọi chung là cực trị địa phương chặt. Tương

tự cực đại toàn cục và cực tiểu toàn cục được gọi chung là cực trị

toàn cục.

Chú ý rằng, một điểm cực trị toàn cục bao giờ cũng là điểm cực trị

địa phương nhưng điều ngược lại nhìn chung không đúng. Chúng ta

sẽ chỉ ra rằng, nếu hàm

f

là lồi (lõm) thì một điểm cực tiểu (cực đại)

địa phương cũng là một điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục. Trong

trường hợp tổng quát, nếu bài toán cực tiểu tự do có nghiệm thì

nghiệm của nó là một điểm cực tiểu địa phương có giá trị nhỏ nhất

trong tất cả các điểm cực tiểu địa phương. Đối với bài toán cực đại

tự do chúng ta cũng có kết luân tương tự. Vì vậy, điểm cực trị địa

phương và và điểm cực trị toàn cục có mối quan hệ chặt chẽ với

nhau. Chúng ta tìm điểm cực trị toàn cục trong số các điểm cực trị

địa phương. Do đó, phần tiếp theo chúng ta sẽ trình bày các điều

kiện cần, điều kiện đủ cho các điểm cực tiểu địa phương.

Điều kiện cần, điều kiện đủ cho cực trị địa phƣơng

7

Định lý 2.1.5. (Điều kiện cần cấp 1)

Giả sử

f x( )

là hàm một biến, liên tục và khả vi trên miền

.

Khi

đó nếu

f x( )

đạt cực tiểu địa phương tại

0

x

thì

0

f x'( ) 0. 

Chú ý 2.1.6.

Định lý 2.1.7. (Điều kiện đủ cấp 1)

Định lý 2.1.8. (Điều kiện cực trị cấp 2) Cho hàm

f x( )

là hàm

một biến, khả vi liên tục trên

( , ) ab

và có đạo hàm đến cấp hai liên

tục tại

0

x a b ( , ).

Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại điểm x0 thì

0

f x'( ) 0  và

0

f x ''( ) 0. 

Ngược lại, nếu

0

f x'( ) 0 

và

f x ''( ) 0 

thì f có một điểm cực tiểu địa phương tại

0

x .

Ví dụ 2.1.1. Sử dụng điều kiện cần cấp 2, tìm cực trị địa phương

của hàm số

y x x    sin2 2.

Tập xác định

D  .

y x ' 1 2cos2 .  

1

' 0 cos 2 )

2

( .

6

y x x k k



         

y x " 4sin 2 . 

4sin 2 2 3 0

6 3

y k k  

 

                 

hàm số đạt cực tiểu

địa phương tại các điểm

,

6

x k 

   ( ), k 

giá trị cực tiểu địa

phương tương ứng là

3

2,

6 6 2

y k k  

 

 

         ( ). k 

4sin 2 2 3 0

6 3

y k k  

 

                     

hàm số đạt cực

đại địa phương tại các điểm

,

6

x k 

   

giá trị cực đại địa

phương tương ứng là

3

2,

6 6 2

y k k  

 

 

           ( ). k 

Định lý 2.1.9.

8

Nhận xét 2.1.10. Với hàm một biến, chúng ta luôn có cực tiểu địa

phương của hàm lồi (lồi chặt) luôn trùng với cực tiểu toàn cục của

hàm đó và cực đại địa phương của hàm lõm (lõm chặt) luôn trùng

với cực đại toàn cục của hàm đó.

Mối liên hệ giữa cực trị địa phƣơng và cực trị toàn cục

Định lý 2.1.11. Cho hàm số

f :  

và giả sử

f x( )

là hàm

lồi. Khi đó,

f x( )

đạt cực tiểu địa phương tại điểm

0

x

khi và chỉ khi

f x( )

đạt cực tiểu toàn cục tại

0

x .

Nhận xét 2.1.12.

Định lý 2.1.13. (Tính lồi/ lõm chặt và tính duy nhất của tối ƣu

toàn cục)

Phƣơng pháp giải bài toán cực trị tự do

Phƣơng pháp chung. Tìm

min ( )

x

f x



(hoặc

max ( )

x

f x



).

1. Kiểm tra tính liên tục của

f x( )

trên

.

2. Tìm các điểm dừng và các điểm kỳ dị: Giả sử là

, 1,2,..., . i

x i n 

Tính

( ). i

f x

3. Tính các giới hạn

lim ( ), lim ( ).

x x

a f x b f x

 

 

4. Tìm

c f x a b d f x a b   min ( ), , , max ( ), , .  i i   

5. Nếu tồn tại một

k

x

sao cho

( ) k

f x c 

(hoặc tồn tại một

k

x

sao cho

( ) ) k

f x d 

thì bài toán cực tiểu (hoặc cực đại ) có nghiệm

và điểm cực tiểu toàn cục (hoặc điểm cực đại toàn cục) là các điểm

i

x

sao cho

( )i

f x c 

(hoặc là các điểm

i

x

sao cho

( ) ). i

f x d 

Nhận xét 2.1.14. Nếu chúng ta biết trước bài toán cực trị có

nghiệm thì có thể bỏ qua Bước 3 và khi đó loại

ab,

ra khỏi các biểu

thức tương ứng. Ở Bước 4, nếu

f

là hàm lồi (hoặc hàm lõm) thì áp

dụng Định lý ( 2.1.11) và Nhận xét (2.1.12), chúng ta thấy

f x( )

đạt cực tiểu toàn cục tại điểm

i

x

nếu

f x( )

là hàm lồi (lúc này bài

9

toán cực đại vô nghiệm) và

f x( )

đạt cực đại toàn cục tại

i

x

nếu

f x( )

là hàm lõm (lúc này bài toán cực tiểu vô nghiệm).

Ví dụ 2.1.2. Tìm cực trị toàn cục của hàm số :

4

y f x x x     ( ) 4 2.

Tập xác định

D  .

Ta có hàm số liên tục trên

.

Giới hạn

lim ( ) , lim ( ) .

x x

f x f x

 

    3

f x f x x '(x) 4 4, '( ) 0 1.     

Hàm số có một điểm dừng

x 1.

Ta có

f (1) 1, min 1; 1,max 1; .              

Vậy

min ( ) 1 f x  



khi

x 1.

Hàm số

f x( )

không tồn tại giá trị

lớn nhất trên

.

Hình 2.1.1. minh họa ví dụ này.

Ví dụ 2.1.3. Tìm cực trị toàn cục của hàm số

3

( ) . x

y f x x e 

  

2.1.2. Cực trị có điều kiện của hàm một biến

Xét bài toán cực trị của hàm một biến có điều kiện có dạng

min ( ),

x D

f x

 

(2.1.2)

trong đó

f x( )

là một hàm số một biến trên

.

Một điểm (số thực)

0

x D  

được gọi là một nghiệm của Bài

toán (2.1.2) nếu

0

f x f x ( ) ( ) 

với mọi

0

x D  .

Khi đó,

0

x

được

gọi là điểm cực tiểu toàn cục của hàm

f

trên

D

và

0

f x( )

được gọi

là giá trị cực tiểu toàn cục. Giải Bài toán (2.1.2) là đi tìm một (hoặc

tất cả) các nghiệm của nó.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực có điều kiện

Định lý 2.1.15. (Định lý Weierstrass) Cho hàm

f D: . 

Nếu

D

là tập compact và

f

liên tục thì

f

đạt cực tiểu toàn cục trên

D.

Nghiệm của bài toán cực trị có điều kiện

Định nghĩa 2.1.16. (Điểmcực tiểu địa phƣơng có điều kiện)

Định nghĩa 2.1.17. (Điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện)

Hình 2.1.2. Cực tiểu (cực đại) địa phƣơng (toàn cục).