bai tap mu logarit rat hay va kho

Ph
ng tri

nh

Bâ

t ph
ng tri

nh

Hê

ph
ng tri

nh

 Hê

bâ

t ph
ng tri

nh

Ths. L ê Vn Đoa
n

Mu & Logarit

www.laisac.page.tl

Bài 1. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002

Giải các phương trình và bất phương trình sau

1/ 2log x log 125 1 1 5 x − < ( )

2/ ( )

2 2 x x 5 x 1 x 5 4 12.2 8 0 2 − − − − − − + =

Bài giải tham khảo

1/ Giải bất phương trình : 2log x log 125 1 1 5 x − < ( )

● Điều kiện : 0 x 1 < ≠ .

( ) 5 5

125 5

1 3 1 2 log x 1 0 2 log x 1 0

log x log x

⇔ − − < ⇔ − − <

5 5 5

2

5

t log x 0 t log x log x 1 1

x

3 3 5 2t t 3 0 t 1 0 t 0 log x 1 x 5 5 t 2 2

   

 = ≠ 

 = < −   

 <  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    − −    < < − ∨ < < < < 



 < <    

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : ( )

1

x 0; 1; 5 5

5

    ∈ ∪  

 

   

.

2/ Giải phương trình : ( )

2 2 x x 5 x 1 x 5 4 12.2 8 0 2 − − − − − − + =

● Điều kiện : 2

x 5

x 5 0

x 5



 ≤ −

− ≥ ⇔ ⇒ 

 ≥



Tập xác định : D ; 5 5; ( )

  = −∞ − ∪ +∞     .

( )

2 2

2 2

2

2 x x 5 x x 5

x x 5 x x 5

2 x x 5

t 2 0 2 2

2 2 6.2 8 0

t 6.t 8 0 2 4

− − − −

− − − −

− −

  

   = >  =

⇔ − + = ⇔ ⇔    

  

   





− + =  =  

( )

( )

2

2 2 2

2 2

2

2

x 1 0 x 1

x 3 x 3 x x 5 1 x 5 x 1 x 5 x 1

x 2 9

x x 5 2 x 5 x 2 x 2 0 x

9 4

x 5 x 2 x

4



 − ≥ 





 ≥ 

 

    − = − 

 = = − − = − = −       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    





 ≥    − − = − = −    − ≥  =         

 − = − 

 =



   

.

● Kết hợp với điều kiện, phương trìn có hai nghiệm là 9

x ; x 3

4

= = .

Bài 2. Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002

Giải bất phương trình : ( )

( )

2

2 2

log x log x 2 x 4 + ≤ ∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện : x 0 > ⇒ tập xác định : D 0; = +∞ ( ).

● Đặt t

2

log x t x 2 = ⇔ = . Lúc đó :

( ) ( )

2 2 2 2 t

t t t t t 1 2 ∗ ⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 2 2 4 2 2 4 0 2 2 t 1 1 t 1

● Với 2 2

1

t log x 1 log x 1 x 2

2

= ⇒ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x 0; ∈ +∞ ( ).

Bài 3. Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002

Giải phương trình : ( ) log ( )

2

3 3 x 1 log x 4x x 16 0 + + − = ∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện : x 0 > ⇒ Tập xác định D 0; = +∞ ( ).

● Đặt 3

t log x = và do x 0 x 1 0 > ⇒ + ≠ . Lúc đó : ( ) ( )

2

∗ ⇔ + + − = x 1 t 4xt 16 0 .

● Lập ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 ∆ = + + = + ⇒ ∆ = + = + > ' 4x 16x 16 4 x 2 4 x 2 2 x 2 , do x 0 .

( )

( )

2x 2 x 2 4

t

x 1 x 1

2x 2 x 2

t 4

x 1



 − + +

 = =

⇒  + +

 − − + 

 = = −



 +

.

● Với 3

1

t 4 log x 4 x

81

= − ⇒ = − ⇔ = .

● Với 3

( ) 4 4 t log x 1

x 1 x 1

= ⇒ =

+ +

Nhận thấy phương trình (1) có một nghiệm là x 3 = .

Hàm số ( ) 3

f x log x : = là hàm số đồng biến trên (0;+∞).

Hàm số ( ) 4

g x

x 1

=

+

có ( )

( )

( ) 2

4

g ' x 0, x g x :

x 1

−

= < ∀ ⇒

+

nghịch biến trên (0;+∞).

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 3 = .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là 1

x , x 3

81

= = .

Bài 4. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002

Giải bất phương trình : ( )

2 2 2 2 x 1 x 2 x 4x x.2 3.2 x .2 8x 12 + + + > + + ∗

Bài giải tham khảo

( )

2 2 2 2 x x 2 x ∗ ⇔ + + − − − > 4x 2x.2 3.2 x .2 8x 12 0

2 2 2 x x 2 2 x 2x.2 8x 3.2 12 4x x .2 0      

⇔ − + − + − >      

     

2 2 2 x x 2 x 2x 2 4 3 2 4 x 2 4 0      

⇔ − + − − − >      

     

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

x 2 x 2 2 4 2x 3 x 0 f x 2 4 x 2x 3 0 1    

⇔ − + − > ⇔ = − − − <    

   

● Cho

2

x 2

2

2 4 0 x 2 x 2

x 2x 3 0 x 1 x 3 x 1 x 3

  =

    − =   = ±

   ⇔ ⇔

   − − = = − ∨ = = − ∨ =

  

.

● Bảng xét dấu

x

−∞ − 2 −1 2 3 +∞

2

x

2 4 − + 0 − − 0 + +

2

x 2x 3 − − + + 0 − − 0 +

f x( ) + 0 − 0 + 0 − 0 +

● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là : x 2; 1 2; 3 ∈ − − ∪ ( ) ( ).

Bài 5. Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương

Giải hệ phương trình :

( )

( ) ( )

( )

2 2 log xy log 3

2 2

9 3 2. xy 1

x y 3x 3y 6 2



 = +





 + = + + 

Bài giải tham khảo

● Điều kiện : xy 0 > .

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

log xy log xy

2.log xy log xy

2 log xy

t 3 0 t 3 1 L

1 3 2.3 3 0

t 2t 3 0 t 3 3

  

 = >  = = −

⇔ − − = ⇔ ⇔ 

 



 − − = 

 = =  

⇔ = ⇔ = log xy 1 xy 2 3 2 ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y 5

2 x y 3 x y 2xy 6 0 x y 3 x y 10 0 4

x y 2

 + =

⇔ + − + − − = ⇔ + − + − = ⇔ 



 + = − 

.

( ) ( )

( )

2

xy 2 5 17 5 17

x y 5 y 5 x x x

2 2 3 , 4

xy 2 x 5x 2 0 5 17 5 17 VN y y

x y 2 2 2









=     − + 

 + =  = −   = =

⇔ ⇔ ⇔ ∨         



 =       − + − = + − 

   = =  + = −   

.

Bài 6. Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004

1/ Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 1 2

2

1

log x 1 log x 4 log 3 x

2

− + + = − ∗

2/ Giải phương trình : ( ) ( ) ( )

2 2

3 2 log x 2x 1 log x 2x + + = + ∗ ∗

Bài giải tham khảo

1/ Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 1 2

2

1

log x 1 log x 4 log 3 x

2

− + + = − ∗

● Điều kiện :

x 1 0 x 1

4 x 3

x 4 0 x 4

x 1

3 x 0 x 3

    − ≠ ≠ 

− < <

   + > ⇔ > − ⇔    ≠

  − > < 

 

.

(∗ ⇔ − − + = − ) log x 1 log x 4 log 3 x 2 2 2 ( ) ( ) ⇔ − = − + log x 1 log 3 x x 4 2 2 ( )( )

⇔ − = − + x 1 3 x x 4 ( )( )

2 ⇔ − = − − + x 1 x x 12

2

2

2

x x 12 0

x 1 x x 12

x 1 x x 12



− − + ≥





⇔ 





 − = − − +







 − = + −



4 x 3

x 1 14 x 1 14

x 11 x 11



− ≤ ≤



 ⇔  = − + ∨ = − −









 = − ∨ =



x 11

x 1 14



 = −

⇔ 

 = − + 

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x 11 x 1 14 = − ∨ = − + .

2/ Giải phương trình : ( ) ( ) ( )

2 2

3 2 log x 2x 1 log x 2x + + = + ∗ ∗

● Điều kiện :

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

x 2x 1 0 x 1 0 x ; 2 0;

x 2x 0 x ; 2 0;

 + + > 

  + >

  ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞  



+ > ∈ −∞ − ∪ +∞ 

.

● Đặt : ( ) ( )

2 t

2 2

3 2 2 t

x 2x 1 3 0

log x 2x 1 log x 2x t

x 2x 2 0



 + + = >

+ + = + = ⇒ 





 + = > 

( )

( )

2 t

2 t 2 t 2 t

t t

2 t t t t t

x 2x 2 1

x 2x 3 1 x 2x 2 x 2x 2

2 1 x 2x 2 3 1 2 2 1 3 1 2

3 3

  



 + =    + = − + = + = 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔    

           + = − = + =    

  + =        

    

.

● Nhận thấy t 1 = là một nghiệm của phương trình (2).

● Xét hàm số ( )

t t

2 1 f t

3 3

        = +    

   

trên
:

( ) ( )

t t

2 2 1 1 f ' t .ln .ln 0, t f t

3 3 3 3

        = + < ∀ ∈ ⇒

   

nghịch biến trên
.

● Do đó, t 1 = là nghiệm duy nhất của phương trình (2).

● Thay t 1 = vào (2 ,) ta được : 2 2 x 2x 2 x 2x 2 0 x 1 3 + = ⇔ + − = ⇔ = − ± .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 1 3 = − ± .

Bài 7. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004

Giải bất phương trình :

( )

2

( )

x 1

1 1 log

− 4 2

> ∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện : ( )

2

0 x 1 1 x 0,1, 2 < − ≠ ⇔ ≠ .

( ) ( ) x 1 x 1 x 1

1 1 1 1 log log log x 1

2 4 2 4 − − −

∗ ⇔ > ⇔ > − ∗ ∗

● Nếu x 1 1 − > thì ( )

1 x 1 1 x 1

4 1

x 1 x 1 1 4

    − > > −

∗ ∗ ⇔ ⇔    

− > − <

 

(vô lí) ⇒ Không có x thỏa.

● Nếu 0 x 1 1 < − < thì

( )

3

1 0 x 1 1 0 x x 1 1 4

4 0 x 1 1

x 1 4 5

0 x 1 1 x 2 4

4



    < − <  < < < − 

∗ ∗ ⇔ ⇔ ⇔ < − < ⇔   

 

< − < − < 

 < <

  

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 3 5 x 0; ;2

4 4

        ∈ ∪

   

.

Bài 8. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2004

Giải hệ phương trình : ( )

( )

2 2

2

4 2

log x y 5

2 log x log y 4



 + =

 ∗



 + = 

Bài giải tham khảo

● Điều kiện :

2 2 x y 0 x 0

x 0, y 0 y 0



 + >



 >

   ⇔

  > > >

 

.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y 32 x y 32 x y 2xy 32 x y 64

log x log y 4 log xy 4 xy 16 xy 16

 + =  + =    

     + − = + =

∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔         + = = = =      

x y 8 x y 8 x y 4

xy 16 xy 16 x y 4

     + = + = − = =

⇔ ∨ ⇔ 

  

  

  = = = = − 

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S x; y 4; 4 = = ( ) {( )}.

Bài 9. Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004

Giải bất phương trình :

( ) ( )

( )

2 3

1 1

2 3

log x 3 log x 3

0

x 1

+ − +

> ∗

+

Bài giải tham khảo

● Điều kiện :

x 3

x 1



 > −



 ≠ 

.

● Trường hợp 1. Nếu x 1 0 3 x 1 + < ⇔ − < < − .

( ) ( ) ( )

2 3

1 1

2 3

∗ ⇔ + − + < log x 3 log x 3 0

⇔ + − + < 3 log x 3 2 log x 3 0 3 2 ( ) ( )

⇔ + − + < 3 log x 3 2 log 3.log x 3 0 3 2 3 ( ) ( )

⇔ + − < log x 3 . 3 2 log 3 0 3 2 ( ) ( )

⇔ + > − < log x 3 0 Do : 3 2 log 3 0 3 ( ) ( 2 )

⇔ + > ⇔ − < < − x 3 1 2 x 1 thỏa mãn điều kiện : − < < − 3 x 1.

● Trường hợp 2. Nếu x 1 0 x 1 + > ⇔ > − .

( ) ( ) ( )

2 3

1 1

2 3

∗ ⇔ + − + > log x 3 log x 3 0

⇔ + − + > 3 log x 3 2 log x 3 0 3 2 ( ) ( )

⇔ + − + > 3 log x 3 2 log 3.log x 3 0 3 2 3 ( ) ( )

⇔ + − > log x 3 . 3 2 log 3 0 3 2 ( ) ( )

⇔ + < − < log x 3 0 Do : 3 2 log 3 0 3 ( ) ( 2 )

⇔ + < ⇔ < − x 3 1 x 2 không thỏa mãn điều kiện x 1 > − .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x 2; 1 ∈ − − ( ).

Bài 10. Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004

Giải phương trình : ( ) ( )

2 3 2

2 2 3x 2x log x 1 log x − = + − ∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện : x 0 > .

( ) ( )

2

2 3 2 3

2 2

x 1 1 log 3x 2x log x 3x 2x

x x

+    

∗ ⇔ = − ⇔ + = − ∗ ∗  

 

   

● Ta có 2

Côsi

2 2

1 1 1 1 x 0 : x x. x 2 log x log 2 1

x x x x

   

∀ > + ≥ ⇔ + ≥ ⇒ + ≥ =  

 

   

.

Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi ( )

2 1 x 1

x x 1 x 1

x x 1 L

 =  = ⇔ = ⇔ ⇔ = 

 = − 

.

● Xét hàm số

2 3 y 3x 2x = − trên khoảng (0;+∞) :

2

y ' 6x 6x . Cho y ' 0 x 0, x 1 = − = ⇔ = = .

Mà

( )

( ) ( ) 0;

f 0 0

max y 1

f 1 1 +∞



 = 

 ⇒ =



 = 

2 3 ⇒ = − ≤ y 3x 2x 1. Dấu " " = xảy ra khi x 1 = .

● Tóm lại : ( )

( )

( )

2

2 3

2 3

2

1

log x 1 1

x

2x 2x 1 2

1

log x 3x 2x

x

     

  + ≥

  

     



∗ ∗ ⇔ − ≤ ⇔ 





  

  

  + = − 

    

   

Dấu " " = trong (1 , 2 ) ( ) đồng thời xảy ra

⇔ =x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 11. Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004

Giải phương trình : log x.log x log x log x 5 3 5 3 = + ∗ ( )

Bài giải tham khảo

( ) 5

5 3 5

5

log x

log x.log x log x 0

log 3

∗ ⇔ − − =

5 3

5

1

log x log x 1 0

log 3

   

⇔ − − =  

 



  

⇔ − − = log x log x log 3 log 5 0 5 3 3 3 ( )

⇔ − = log x. log x log 15 0 5 3 3 ( )

5

3 3

log x 0 x 1

log x log 15 0 x 15

  = =

⇔ ⇔  

− = =  

.

Bài 12. Cao đẳng Giao Thông năm 2004

Giải bất phương trình : ( )

1 x x 1 x 8 2 4 2 5 1 + + + − + >