Bài tập không gian vector

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

BÀI TẬP CHƯƠNG IV.

KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau:

a. 1 23 x xx = − = =− (1, 1,2), (0,2,3), ( 1,1,1)

b. 12 3 xx x =− = − = (1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)

c. 12 3 4 xx x x == = = (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)

d. 1 23 4

1 5 11 2 4 1 7 ,, , 4 2 15 5 7 5 1 A AA A ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − −− = == = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −− −

e.

2 2 32

1 22 px x p x p xx x =−+ =+ = +−+ 2 3, 1, 2 4 10 trong 3 \ [ ] x .

f. 32 2

123 4 p x p x p x xp x = + = + =− + =− − 1, 1, 2 , 2 4 trong 3 \ [ ] x .

2. Cho hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V.

Chứng minh hệ vectơ 1 12 1 2 1 2 , ,, n n y xy x x y x x x = =+ =+ ++ … … cũng độc

lập tuyến tính.

3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … không có vectơ nào biểu thị

tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 1 2 ,,, n x x x … độc lập tuyến tính .

4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:

a. 1 2 34 x x xx = =− − = = − (47,26,16), ( 67,98, 428), (35,23,1), (201, 294,1284),

5x = (155,86,52).

b. 1 23 xxx = == (24,49,73,47), (19,40,59,36), (36,73,98,71),

4 5 x x = =− − − − (72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72).

c. 12 3 xx x = =− − − = (17,24,25,31,42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19,29),

4 5 x x = −−− = −−− (11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68).

5. Cho hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … biểu thị tuyến tính được qua hệ 1 2 yy y ,,, … m . Chứng

minh:

a. 12 12 {, , , } {, , , } rank x x x rank y y y … … n m ≤ .

b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương.

6. Chứng minh:

12 12 { , , , }= { , , , , } n n rank x x x rank u x x x … … ⇔ u biểu thị tuyến tính được qua

1 2 ,,, n x x x … .

7. Trong 3 \ , cho hệ vectơ 12 3 uu u = (1,2,1), ( 1,0,1), (0,1,2) =− = .

a. Chứng minh 123 uu u , , là một cơ sở của

3 \ .

b. Tìm tọa độ của u abc = (,,) trong cơ sở 123 uu u , , .