Bài Giảng Xác Suất Thống Kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

TS. PHẠM QUANG KHOÁI (chủ biên)

ThS. VŨ NGỌC TRÌU, ThS. NGUYỄN THỊ VÂN HÒA

ThS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH

X¸C SUÊT THèNG K£

TS. PHẠM QUANG KHOÁI (chủ biên)

THS.VŨ NGỌC TRÌU, THS.NGUYỄN THỊ VÂN HÒA

THS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

2

3

LỜI NÓI ĐẦU

Xác suất thống kê là môn học được giảng dạy cho các lớp hầu hết ngành

học ở Trường Đại học Lâm nghiệp. Đặc biệt là hệ đào tạo Tín chỉ với thời lượng

3 tín chỉ. Do vậy cần có tài liệu học tập phù hợp với chương trình của môn học

để cho sinh viên có thể tự học.

Chúng tôi biên soạn bài giảng này dựa trên chương trình môn học nhằm

đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên. Bài giảng do các giảng viên thuộc Bộ

môn Toán, Khoa Cơ điện và Công trình biên soạn theo trình tự khoa học, chặt

trẽ. Mỗi phần đều có ví dụ minh họa liên quan đến thực tế để tạo hứng thú cho

người học. Cuối mỗi chương đều có bài tập để củng cố và nâng cao kiến thức

môn học.

Sau đây là nội dung chính của bài giảng:

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Chương 3 Mẫu thống kê và thống kê mô tả

Chương 4 Ước lượng tham số

Chương 5 Kiểm định giả thuyết thống kê

Chương 6 Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính

Chương 7 Phân tích phương sai

Mặc dù đã cố gắng nhưng cuốn sách khó tránh khỏi những khiếm khuyết.

Chúng tôi mong nhận được những góp ý quý báu của độc giả.

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Các tác giả

4

5

Chương 1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT

1.1.Các khái niệm mở đầu

1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí

nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được.

Ví dụ 1:

Một vật được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất;

Mặt trời mọc ở hướng Đông và lặn ở hướng Tây;

Nước đóng băng ở điều kiện nhiệt độ dưới 00

C và áp suất 1atm…

Đó là hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất định.

=> Những hành động này không phải là phép thử ngẫu nhiên.

Ví dụ 2:

Gieo 1 đồng xu cân đối và đồng chất;

Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất;

Rút 1 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ.

=>Những hành động này là các phép thử ngẫu nhiên.

1.1.2. Không gian mẫu

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta không thể dự báo trước được kết

quả tuy vậy ta có thể liệt kê được cụ thể hoặc biểu diễn được tất cả các kết quả

có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên.

Tập hợp tất cả các kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là không

gian mẫu của phép thử đó. Kí hiệu là .

Mỗi phần tử của không gian mẫu  cũng tức là mỗi kết quả của phép thử

ngẫu nhiên được gọi là một phần tử mẫu.

Ta có dạng bài tập tìm không gian mẫu của một phép thử.

Ví dụ 3:

Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo 1 lần một con xúc xắc cân đối và

đồng chất.

Các trường hợp có thể xảy ra: Xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3

chấm,4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.Hay ta viết dưới dạng tập hợp:

6

  1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 .

Ví dụ 4:Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo liên tiếp 1 con xúc xắc cân

đối và đồng chất cho tới khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại.

Các kết quả có thể có của phép thử này là 1 lần, 2 lần, 3 lần…

Hay ta viết dưới dạng tập hợp số lần gieo là các số nguyên dương {1,2,3…}.

Ví dụ 5: Tìm không gian mẫu cho phép thử đo thời gian sống của một con

chip điện tử.

Các kết quả có thể của phép thử là số thực không âm.

Có 2 loại không gian mẫu:

- Không gian mẫu rời rạc: Gồm một số hữu hạn (ví dụ 1) hay vô hạn đếm

được (ví dụ 2) các phần tử mẫu;

- Không gian mẫu liên tục: Gồm một số vô hạn không đếm được các phần

tử mẫu(ví dụ 3).

Tương ứng với các loại không gian mẫu này ta sẽ có các khái niệm biến

ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục sẽ học ở chương sau.

Chú ý rằng một phép thử có thể có nhiều không gian mẫu khác nhau tùy

thuộc vào việc quan sát của chúng ta.

1.1.3. Biến cố

Xét một phép thử. Chẳng hạn gieo một đồng xu trên một mặt phẳng. Các

kết quả có thể xảy ra là: “Xuất hiện mặt sấp” hoặc “xuất hiện mặt ngửa”. Việc

“xuất hiện mặt sấp” hay “xuất hiện mặt ngửa”là một sự kiệngắn với phép thử

phép thử. Ta có khái niệm biến cố:

Một sự kiện có thể xảy ra hay không tùy thuộc vào kết quả của phép thử

được gọi là một biến cố của phép thử đó.

Kí hiệu biến cố bằng các chữ cái in hoa A, B, C…

Những kết quả làm cho biến cố xảy ra được gọi là kết quả thuận lợi của

7

biến cố đó.

Như vậy, ta cũng có thể nói biến cố A là một tập con của không gian mẫu

bao gồm các kết quả thuận lợi cho A.

Ví dụ 6: Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là

biến cố “Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ”.

=> Các kết quả thuận lợi của biến cố A là 1 chấm, 3 chấm, 5 chấm và các

kết quả này nằm trong không gian mẫu của phép thử.

* Cách cho biến cố:

Người ta có thể cho biến cố dưới dạng 1 mệnh đề hoặc 1 tập hợp.

Lưu ý:Một mệnh đề phải có đầy đủ chủ ngữ và vị ngữ.

Mọi biến cố đều có thể biểu diễn dưới dạng các tập hợp, thường ở dưới

dạng liệt kê và có thể dùng sơ đồ Venn để minh họa.

Hình1: Sơ đồ Venn của một biến cố A trong không gian mẫu Ω

(Tính theo tỉ lệ diện tích, xác suất của A xấp xỉ bằng 0,2)

* Phân loại biến cố:

- Biến cố sơ cấp: Là biến cố không thể phân tích được nữa.

Ví dụ 7: Tung một đồng tiền, biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp hoặc mặt

ngửa là các biến cố sơ cấp.

Vì vậy không gian mẫu còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

- Biến cố không thể:Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiệp phép

thử. Biến cố không thểđồng nhất với tập rỗng của không gian mẫu.

Ví dụ 8: Tung 1 con xúc xắc, gọi U là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có

7 chấm”.

Khi đó U là biến cố không thể.

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố

8

chắc chắnđồng nhất với tập không gian mẫuΩ.

Ví dụ 9: Tung 1 con xúc xắc, gọi S là biến cố “Xúc xắc xuất hiện số chấm

nhỏ hơn hoặc bằng 6” => S là biến cố chắc chắn.

- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực

hiện phép thử.

Ví dụ 10: Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố con

xúc xắc xuất hiện chấm chẵn.

=> Các kết quả thuận lợi có thể xảy ra là A = {2,4,6}.

1.1.4. Quan hệ giữa các biến cố

Trong lý thuyết xác suất, người ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố:

Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra

thì B cũng xảy ra. Kí hiệu A B  .

Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu

A B  và B A  . Kí hiệu A = B.

Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất

một trong hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu là A B  .

Hợp của một dãy hữu hạn biến cố A A A 1 2 , ,..., n là biến cố

1

n

i

i

A



 . Biến cố

này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra.

Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai

biến cố trên xảy ra. Kí hiệu: A B  hay AB.

Giao của một dãy hữu hạn n biến cố A A A 1 2 , ,..., n là biến cố

1

n

i

i

A



 . Biến cố

này xảy ra khi tất cả các biến cố Aicùng xảy ra.

Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ

khi A không xảy ra. Kí hiệu là A.

Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau

nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu AB   .

9

Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố

xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Kí hiệu A\B.

Ta có bảng so sánh giữa lý thuyết tập hợp và lý thuyết xác suất như sau:

Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xác suất Mô tả bằng hình vẽ

Tập 

- là không gian các biến cố

sơ cấp (không gian mẫu).

- là biến cố chắc chắn.

Tập rỗng   là biến cố không thể.

A B 

x  A B  nghĩa là:

x A thì x B

Biến cố A kéo theo biến cố B.

A B  là hợp của hai tập hợp.

x  A B  nghĩa là:

x A hoặc x B

A B  là biến cố ít nhất một

trong hai biến cố A hoặc B

xảy ra.

A B  là giao của hai tập hợp

x  A B  nghĩa là:

x A và x B

A B  (hoặc kí hiệu là AB) là

biến cố cả hai biến cố A và B

cùng xảy ra.

A B   

A B    thì A và B là hai

biến cố xung khắc.

A B\ là hiệu của hai tập hợp

x  A B\ nghĩa là:

x A và x B 

A B\ là hiệu của hai biến cố,

tức là A xảy ra nhưng B

không xảy ra.

A A  \

A A  \ là biến cố đối của

biến cố A, tức là A xảy ra nếu

A không xảy ra.

Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ:

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta thấy rằng các biến cố có xác

suất nhỏ sẽ không xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép

thử. Từ đó ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi là “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu

một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ không

xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.

10

Ví dụ: Mỗi chiếc máy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn.

Nhưng trên thực tế ta vẫn không từ chối đi máy bay vì tin tưởng rằng trong

chuyến bay ta đi biến cố máy bay bị rơi không xảy ra.

Việc quy định một mức xác suất thế nào được gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vào

từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất

đó chưa thể được coi là nhỏ. Nhưng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành

chậm là 0,01 thì có thể chấp nhận là nhỏ. Mức xác suất nhỏ này được gọi là mức

ý nghĩa. Nếu  là mức ý nghĩa thì số    1 được gọi là độ tin cậy.

Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể phát biểu “Biến cố A có xác

suất nhỏ (tức là P(A)  ) sẽ không xảy ra trên thực tế” thì độ tin cậy của phát

biểu trên là  .

Tương tự như vậy, ta có thể đưa ra “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố

A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra

trong một phép thử.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 3 biến cố A, B, C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C.

a) Cả 3 biến cố trên đều xảy ra.

b) Cả 3 biến cố trên đều không xảy ra.

c) Chỉ có A xảy ra.

d) A, B xảy ra nhưng C không xảy ra.

e) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.

f) Có đúng 2 biến cố xảy ra.

g) Có ít nhất một biến cố xảy ra.

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là một số chẵn”.

B: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”.

C: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”.

c) Miêu tả các biến cố A B B C AB   , , và ABC.

Bài 3: Gieo một đồng xu hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu(Không gian

11

các biến cố sơ cấp). Mô tả biến cố:

A: Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần.

B: Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp.

Bài 4: Gieo một lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mô tả không

gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố A: Mặt trên con xúc xắc xuất hiện số

chấm chia hết cho 3.

Bài 5: Gieo một đồng xu sau đó gieo một con xúc xắc. Mô tả không gian

các biến cố sơ cấp.

Bài 6: Gieo liên tiếp 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng. Mô tả

không gian các biến cố sơ cấp.

Bài 7: Một xạ thủ bắn ba lần, mỗi lần một viên đạn vào cùng một mục tiêu.

Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu, i=1,2,3. Hãy biểu diễn các biến

cố sau theo Ai.

a) Cả ba viên đạn đều trúng mục tiêu.

b) Không có viên đạn nào trúng mục tiêu.

c) Có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu.

d) Có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu.

Bài 8: Hãy mô tả biến cố đối của các biến cố sau đây:

A: Xuất hiện hai mặt ngửa khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần.

B: Cả ba viên đạn đều trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên

đạn vào một mục tiêu.

C: Có ít nhất một viên đạn trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một

viên đạn vào một mục tiêu.

Bài 9: Bắn độc lập bốn viên đạn vào mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viên đạn

thứ i trúng mục tiêu(i =1,2,3,4). Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai và Ai :

a) Có đúng một viên trúng mục tiêu.

b) Có ít nhất hai viên trúng mục tiêu.

c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu.

Bài 10: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Mô tả không

12

gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố:

A: Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc là 8.

B: Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần.

1.2. Các định nghĩa về xác suất

1.2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển

Xét một phép thử. Giả sử không gian mẫu của phép thử đó gồm n (hữu

hạn) trường hợp đồng khả năng. Nếu biến cố A liên quan đến phép thử gồm có

m trường hợp thuận lợi thì tỷ số m

n

được gọi là xác suất của biến cố A.

Kí hiệu: P(A)= m

n .

Các bước để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển nếu xem

biến cố A như là tập con của không gian mẫu  thì:

+ Xác định không gian mẫu , rồi tính số phần tử n() của;

+ Xác định các trường hợp thuận lợi của biến cố A, rồi tính số trường hợp

thuận lợi để xảy ra biến cố A là n(A);

+ Tính P(A) theo công thức ( ) (A) ( )

n A P

n   .

Phương pháp tính số phần tử của không gian mẫu và số trường hợp thuận

lợi của biến cố A.

1.2.1.1. Phương pháp liệt kê các phần tử

Ví dụ 1:Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:

a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm.

b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.

c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7.

d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm.

Giải:

a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm.

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp =>Số phần tử của không gian mẫu

 là n()=6;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trường hợp.

13

P(A)= 1

6 .

b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trường hợp {2,4,6}.

P(A)= 3

6 .

c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7.

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trường hợp (bằng số trường hợp

thuận lợi của không gian mẫu).

P(A)= 6 1

6  .

d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm.

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm).

P(A)= 0 0

6

 .

1.2.1.2. Phương pháp dùng quy tắc đếm

Nhắc lại: Số cách lấy k phần tử từ n phần tử không quan tâm đến thứ tự là k Cn .

Quy tắc cộng:

Giả sử để thực hiện một công việc A ta có k phương án thực hiện:

- Phương án 1 có n1 cách hoàn thành;

- Phương án 2 có n2 cách hoàn thành;

…

- Phương án k có nk cách hoàn thành.

Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1 + n2 +…+ nk.

Quy tắc nhân:

Giả sử để thực hiện một công việc A ta phải thực hiện qua k giai đoạn

khác nhau:

14

- Giai đoạn 1 có n1 cách hoàn thành;

- Giai đoạn 2 có n2 cách hoàn thành;

…

- Giai đoạn k có nk cách hoàn thành.

Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1.n2…nk.

Nhận xét:

Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài chúng ta biết được phải

sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà

công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy

ra thì ta thường dùng quy tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực

hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ

này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dùng quy tắc nhân.

Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài toán.

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52

quân. Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó:

a) Có đúng một quân bài mầu đỏ.

b) Có ít nhất một quân át.

Giải:

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 quân bài

trong một bộ bài tú lơ khơ 52 quân => Số phần tử của không gian mẫu là

3

52 n C ( ) 22510    .

a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có đúng một quân bài mầu đỏ.

Để A xảy ra ta phải thực hiện 2giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Lấy ra 2 quân bài khác màu đỏ trong số 26 quân bài khác

màu đỏ của bộ bài => Có 2 C26 cách lấy.

- Giai đoạn 2: Lấy ra 1 quân bài màu đỏ trong số 26 quân bài màu đỏ của

bộ bài => Có 1 C26 cách lấy.

Áp dụng công thức nhân xác suất, số trường hợp thuận lợi của biến cố A

là 2 1

26 26 n C C (A)  =325.

Vậy xác suất P(A) ( ) 325 0,0147 ( ) 22150

n A

n     .