Bài Giảng Toán Thống Kê Cho Khoa Học Xã Hội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2019

ThS. NGUYỄN THỊ VÂN HÒA (Chủ biên)

ThS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH, ThS. VŨ THỊ KHUYÊN

ThS. NGUYỄN THỊ THU

TO¸N THèNG K£

CHO KHOA HäC X· HéI

ThS. NGUYỄN THỊ VÂN HÒA (Chủ biên)

ThS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH, ThS. VŨ THỊ KHUYÊN

ThS. NGUYỄN THỊ THU

BÀI GIẢNG

TOÁN THỐNG KÊ

CHO KHOA HỌC XÃ HỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2019

i

MỤC LỤC

MỤC LỤC..............................................................................................................i

LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1

Chƣơng 1. ĐẠI CƢƠNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT................................ 3

1.1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất.................................................................. 3

1.1.1. Ý nghĩa của xác suất............................................................................. 3

1.1.2. Phép thử và biến cố.............................................................................. 3

1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố..................................................................... 4

1.2. Định nghĩa xác suất cổ điển ....................................................................... 4

1.2.1. Phương pháp liệt kê các phần tử.......................................................... 5

1.2.2. Phương pháp dùng các quy tắc đếm .................................................... 6

1.3. Các công thức tính xác suất ....................................................................... 8

1.3.1. Công thức cộng xác suất ...................................................................... 8

1.3.2. Công thức nhân xác suất.................................................................... 10

1.4. Công thức Bernoulli................................................................................. 12

1.4.1. Dãy phép thử Bernoulli...................................................................... 12

1.4.2. Công thức Bernoulli........................................................................... 13

1.5. Biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................................ 15

1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc .................................................... 15

1.5.2. Bảng phân phối xác suất .................................................................... 16

1.5.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc .................................. 18

1.5.4. Phân phối nhị thức ............................................................................. 21

1.6. Biến ngẫu nhiên liên tục........................................................................... 21

1.6.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục.................................................... 21

1.6.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục .............................. 21

1.6.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục.................................. 24

1.6.4. Phân phối chuẩn................................................................................. 25

BÀI TẬP.............................................................................................................. 28

Chƣơng 2. MẪU THỐNG KÊ VÀ ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ..................... 34

2.1. Giới thiệu bài toán.................................................................................... 34

2.2. Lý thuyết mẫu .......................................................................................... 34

2.3. Mẫu ngẫu nhiên........................................................................................ 35

2.4. Cách thu gọn và biểu diễn số liệu ............................................................ 36

2.5. Các số đặc trưng mẫu............................................................................... 41

ii

2.5.1. Kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu...........................................................41

2.5.2. Cách tính giá trị cụ thể của trung bình mẫu và phương sai mẫu ......42

2.5.3. Các đặc trưng khác ............................................................................43

2.5.4. Phân phối của kỳ vọng mẫu và phương sai mẫu................................45

BÀI TẬP..............................................................................................................46

Chƣơng 3. ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ.............................................................47

3.1. Ước lượng điểm........................................................................................ 47

3.2. Ước lượng khoảng.................................................................................... 48

3.2.1. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có phân phối

chuẩn ............................................................................................................49

3.2.2. Khoảng tin cậy cho xác suất...............................................................51

3.2.3. Bài toán xác định cỡ mẫu...................................................................52

BÀI TẬP..............................................................................................................54

Chƣơng 4. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ ......................................57

4.1. Đặt vấn đề................................................................................................. 57

4.2. Bài toán và phương pháp chung giải quyết kiểm định giả thiết .............. 58

4.3. Các bài toán kiểm định giả thiết thường gặp ........................................... 60

4.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết cho kì vọng............................................60

4.3.2. Kiểm định cho xác suất hay tỉ lệ.........................................................65

BÀI TẬP..............................................................................................................67

Chƣơng 5. BÀI TOÁN SO SÁNH....................................................................69

5.1. So sánh hai giá trị trung bình ................................................................... 69

5.2. Bài toán so sánh hai tỉ lệ (xác suất).......................................................... 72

5.3. Kiểm định tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên (hai dấu hiệu) .............. 74

BÀI TẬP..............................................................................................................77

Chƣơng 6. SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY

TUYẾN TÍNH....................................................................................................79

6.1. Phân tích tương quan tuyến tính............................................................... 79

6.1.1. Hệ số tương quan ...............................................................................79

6.1.2. Hệ số tương quan mẫu .......................................................................80

6.2. Phân tích hồi quy tuyến tính..................................................................... 81

6.2.1. Mô hình...............................................................................................81

6.2.2. Ước lượng bình phương cực tiểu .......................................................82

BÀI TẬP..............................................................................................................85

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................87

PHỤ LỤC

1

LỜI NÓI ĐẦU

Xác suất thống kê là một chuyên ngành khó của Toán học nhưng lại có

nhiều ứng dụng trong rất nhiều ngành nghề, từ khoa học tự nhiên đến khoa học

xã hội, kinh tế, nông nghiệp, lâm nghiệp…

Để đáp ứng nhu cầu học tập môn học này cho những người học khối xã hội

và đặc biệt là cho sinh viên chuyên ngành Công tác xã hội của Trường Đại học

Lâm nghiệp, nhóm giảng viên bộ môn Toán đã biên soạn cuốn Bài giảng Toán

Thống kê cho khoa học xã hội dựa trên đề cương môn học này. Trong bài giảng

nhóm tác giả đã chọn cách diễn giải, trình bày các vấn đề lý thuyết một cách đơn

giản, dễ hiểu tránh các vấn đề toán học phức tạp. Kèm theo đó là các ví dụ có

giải thích cặn kẽ để người đọc dễ theo dõi, áp dụng.

Nội dung gồm các bài tập được trình bày theo các chương:

- Chương 1: Đại cương về lý thuyết xác suất;

- Chương 2: Thống kê mô tả;

- Chương 3: Ước lượng tham số;

- Chương 4: Kiểm định giả thiết thống kê;

- Chương 5: Bài toán so sánh;

- Chương 6: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính.

Mặc dù rất cẩn thận nhưng trong quá trình biên soạn và chế bản chắc chắn

không tránh khỏi các sai sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý

báu của sinh viên và đồng nghiệp.

Nhóm tác giả

2

3

Chƣơng 1

ĐẠI CƢƠNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1.1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1.1.1. Ý nghĩa của xác suất

Vì khái niệm xác suất giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng

của thống kê nên chúng ta phải trang bị những hiểu biết đầy đủ về xác suất trước

khi nghiên cứu những chi tiết có tính kỹ thuật của thống kê.

Các trò chơi có tính may rủi như quay số, rút bài, tung đồng xu... cho chúng

ta khái niệm về “phép thử”, khi một phép thử được thực hiện có thể dẫn đến

nhiều kết cục khác nhau, nhưng thông thường ta không thể nào tiên đoán được

chính xác kết quả nào sẽ xảy ra trước khi thực hiện phép thử.

Chẳng hạn trong phép thử gieo một con xúc sắc, chúng ta biết được các khả

năng xuất hiện là xúc sắc sẽ ra 1 chấm, 2 chấm... 6 chấm. Tuy nhiên, trong một

lần cụ thể ta sẽ không thể biết được xúc sắc ra kết quả nào. Nhưng nếu tiếp tục

thực hiện phép thử n lần (với n là một số đủ lớn) và gọi m là số lần mà có kết

quả thành công như là xuất hiện mặt 3 chấm ngửa lên, khi đó thực nghiệm cho

thấy rằng tỷ số f = m/n sẽ tiến tới một giới hạn ổn định nếu như số lần tung xúc

sắc n ngày càng lớn. Tính ổn định trên chính là nền tảng của lý thuyết xác suất.

1.1.2. Phép thử và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí

nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là không

gian mẫu của phép thử đó.

Biến cố sơ cấp là một kết cục sơ đẳng nhất của phép thử.

Biến cố cũng là kết cục của phép thử nhưng nó là một tập hợp các biến cố

sơ cấp có chung một đặc tính. Như vậy, một biến cố có thể là một tập hợp của

nhiều biến cố sơ cấp, cũng có thể chỉ bao gồm một biến cố sơ cấp duy nhất,

cũng có khi biến cố là một tập hợp rỗng (biến cố không thể) hay là toàn bộ

không gian mẫu (biến cố chắc chắn).

Chẳng hạn, xét một phép thử tung con xúc sắc cân đối và đồng chất trên

một mặt phẳng:

- Biến cố sơ cấp là biến cố xuất mặt 2 chấm, hoặc biến cố xuất hiện mặt 3

chấm... Ta có 6 biến cố sơ cấp;

4

- Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn là biến cố C gồm các kết quả xuất

hiện mặt 2 chấm, 4 chấm và 6 chấm. Lúc này C không phải là biến cố sơ cấp;

- Biến cố xuất hiện mặt có số chấm bằng 7 là biến cố không thể vì nó

không thể xảy ra.

1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố

Trong lý thuyết xác suất, người ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố:

- Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra

thì B cũng xảy ra. Kí hiệu

A B 

;

- Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu

A B 

và

B A 

. Kí hiệu A = B;

- Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất một

trong hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu là

A B  .

Hợp của một dãy hữu hạn n biến cố

A ,A ,...,A 1 2 n

, kí hiệu là biến cố

n

i

i 1

A



.

Biến cố này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra.

- Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai

biến cố trên xảy ra. Kí hiệu:

A B 

hay AB.

Giao của một dãy hữu hạn n biến cố

A ,A ,...,A 1 2 n

, kí hiệu là biến cố

n

i

i 1

A



.

Biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố Ai cùng xảy ra.

- Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ

khi A không xảy ra. Kí hiệu là

A

;

- Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau

nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu

AB 

;

- Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố xảy

ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Kí hiệu A\B;

- Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc

xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi khả năng xảy ra của

biến cố kia và ngược lại.

1.2. Định nghĩa xác suất cổ điển

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra của

biến cố đó khi thực hiện phép thử, ví dụ theo trực giác ta luôn tin rằng khả năng

xuất hiện mặt số khi tung một đồng xu là 50%, như vậy có thể nói “xác suất của

biến cố xuất hiện mặt số khi tung đồng xu là 0,5”.