bài giảng tích phân - đặng việt hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG

BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM

TÍCH PHÂN

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 2

I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy df x y dx f x dx = = = ( ) ' '( )

Ví dụ:

d(x

2

– 2x + 2) = (x

2

– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( ) 1

2 2 2

2

d x dx dx d x = ⇒ =

( ) ( ) 1

3 3 3

3

d x dx dx d x = ⇒ =

( ) ( ) ( )

2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

x

xdx d d x d x a d a x

 

= = = ± = − −      

( ) ( ) ( )

3

2 3 3 3 1 1 1

3 3 3 3

x

x dx d d x d x a d a x

 

= = = ± = − −      

( )

( ) ( ) 1 1 ax

ln ax ln

ax

dx dx d b

d b d x

ax b a b a x

+

= = + → =

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 ...

2

b dx b d b d b xdx d c x

a a

+ = + + = − + → = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin 2 ...

2

ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x

a a

+ = + + = + → =

( ) ( ) ( )

ax 1 1 1 2 2 ax ...

2

b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e

a a

+ + + = + = → =

( )

( )

( )

( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 ax

tan tan 2 ...

cos cos cos 2 2

dx d b dx d ax b d x

ax b ax b x a a

+

= =  +  → =  

+ +

( )

( )

( )

( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 ax

cot cot 2 ...

sin sin sin 2 2

dx d b dx d ax b d x

ax b ax b x a a

+

= = −  +  → = −  

+ +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) =

f(x) và được viết là f x dx ( ) ∫

. Từ đó ta có : f x dx F x ( ) ( ) = ∫

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết f x dx F x C ( ) ( ) = + ∫

,

khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một

nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x

2

+ C, vì (x

2

+ C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính

chất sau:

a) Tính chất 1: ( ) f x dx f x ( ) ( ) ′

= ∫

Chứng minh:

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) f x dx F x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ′

′

∫

= = ⇒ đpcm.

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 3

b) Tính chất 2: (∫ ∫ ∫ [ f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ] )

Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có, ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′ ′

+ = + = + ∫ ∫ ∫ ∫

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

Từ đó ta có (∫ ∫ ∫ [ f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ] )

c) Tính chất 3: ( k f x dx k f x dx k . ( ) ( ) , 0 ) = ∀ ≠ ∫ ∫

Chứng minh:

Tương tự như tính chất 2, ta xét ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ( ) . ( ) . ( ) ( ) ′

∫ ∫ ∫ = → = ⇒ đpcm.

d) Tính chất 4: f x dx f t dt f u du ( ) ( ) ( ) .. = = ∫ ∫ ∫

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào

hàm, mà không phụ thuộc vào biến.

IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: dx x C = + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) x C dx x C 1

′ + = ⇒ = + ∫

Chú ý:

Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được du u C = + ∫

Công thức 2:

1

1

+

= +

+

∫

n

n x

x dx C

n

Chứng minh:

Thật vậy, do

1 1

1 1

n n

x x n n C x x dx C

n n

+ ′ +

    + = ⇒ = +

  + + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được

1

1

n

n u

u du C

n

+

= +

+

∫

+ Với 1

2 2 2

2 2

dx dx du n x C u C

x x u

= − ⇒ = = + ←→ = + ∫ ∫ ∫

+ Với 2 2

1 1 2

dx du n C C

x x u u

= − ⇒ = − + ←→ = − + ∫ ∫

Ví dụ:

a)

3

2

3

x

x dx C = + ∫

b) ( )

5

4 4 2 2 2

5

x

x x dx x dx xdx x C + = + = + + ∫ ∫ ∫

c)

1 1

3 2 3

2 2 2 2 3

3 3

3

2 2 2 1

3

x x x x x x x dx dx xdx x dx C x C

x x

− −

= − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫

d) ( ) ( ) ( ) ( )5

4 4 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 5

n

u du x

I x dx x d x I C

+

= + = + + → = + ∫ ∫

e) ( ) ( ) ( ) ( )2011

2010 2010 1 1 3

1 3 1 3 1 3

3 2011

n

u du x

I x dx x d x I C

−

= − = − − − → = − + ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 4

f)

( )

( )

( ) ( )

2

2 2

1 1 1 1 2 1

.

2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1

du

u

dx d x

I I C C

x x x x

+

= = → = − + = − +

+ + + + ∫ ∫

g) ( ) ( ) ( )

3 3

2 2

1 1 2 3 4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5

4 4 3 8

I x dx x d x I x C x C = + = + + ⇒ = + + = + + ∫ ∫

Công thức 3: ln dx x C

x

= + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 1

ln ln dx x C x C

x x

′

+ = ⇒ = + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được ln du u C

u

= + ∫

+

( )

1

ln 2 1 1 2x 2 ln ax

ax ax 1

ln 2

2 2

dx x k C dx d ax b k

b C

b a b a dx k x C

k x



= + +

+  +

= = + + →

+ +  = − − +  −

∫

∫ ∫

∫

Ví dụ:

a)

4

3 3 1 1 1 2 ln

4

dx x x dx x dx dx x x C

x x x x

 

+ + = + + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫

b) 1 1 (3 2)

ln 3 2

3 2 3 3 2 3

du

u

dx d x

I I x C

x x

+

= = → = + +

+ + ∫ ∫

c) ( )

2

2 2 2 3 3 3 3 2 1

2 2 3 ln 2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

x x dx d x

dx x dx xdx x x x C

x x x x

+ +   +

= + = + = + = + + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Công thức 4: sinx cos dx x C = − + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) cos sin x sinx cos x C dx x C ′ − + = ⇒ = − + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được sinu cos du u C = − + ∫

+ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin sin cos sin 2 cos2

2

+ = + + = − + + → = − + ∫ ∫ ∫ ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C

a a

Ví dụ:

a) ( )

3

2

1 1 2 1

sinx sinx cos

2 1 2 1 2 2 1

dx d x

x x dx x xdx dx x dx x

x x x

  −

  + + = + + = − + =   − − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5

2 2 1 cos ln 2 1

5 2

x

= − + − + x x C

b) ( ) 3 1 3 1 3 (4 3)

sin 2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3

4 3 4 3 2 4 4 3 2 4

dx d x

x dx xdx xd x c x x C

x x x

  −

  + = + = + = − + − +   − − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) sin sinx sin3

2

x

x dx     + +   ∫

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ; 2 2 2 ; 3 3 3

2 2 2 2 3

x x d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x         = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =

   

Từ đó :

( ) ( ) 1 1 sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3

2 2 2 2 2 3

x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x       + + = + + = + +       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 2cos os2 os3

2 2 3

x

= − − − + c x c x C

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 5

Công thức 5: cos sin xdx x C = + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) sin cos cos sin ′ + = ⇒ = + ∫

x C x xdx x C

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được cosu sin du u C = + ∫

+ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin 2

2

+ = + + = + + → = + ∫ ∫ ∫ ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C

a a

Ví dụ:

a) 4 1 5 cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1

1 1

x

x x dx xdx dx dx x x x C

x x

    −

    − + = − + − = + + − + +     + + ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( )

2

1

cos 2 sin cos 2 sin sin 2 cos

2 2

+ − = + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ x

x x x dx xdx xdx xdx x x C

c) ( ) 2 1 cos 2 1 1 1 1 1 1 sin cos 2 cos 2 2 sin 2

2 2 2 2 4 2 4

−  

= = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫ x

xdx dx x dx x xd x x x C

Công thức 6: 2

tan

cos

dx x C

x

= + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 2 2

1

tan tan x

cos cos

dx x C C

x x

′ + = ⇒ = + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được 2

tan u

os

du C

c u

= + ∫

+ ( )

( )

( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 tan tan 2

cos cos cos 2 2

dx d ax b dx ax b C x C

ax b a ax b a x

+

= = + + → = +

+ + ∫ ∫ ∫

Ví dụ:

a) 2 2

1 1

cos sin 2 cos sin 2 tan sin cos2

cos cos 2

dx x x dx xdx xdx x x x C

x x

    + − = + − = + + +   ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 2

1 2 1 2 2 1 5 4

2

cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4

dx dx d x d x

I dx

x x x x x x

  − −

= + = + = −  

− − − − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) 2

os

1 1 tan 2 1 ln 5 4

2 2

du

c u → = − − − + x x C

c) ( )

( )

( ) ( ) 2

os

2 2

1 1 3 2

tan 3 2

cos 3 2 2 cos 3 2 2

du

c u

dx d x

I I x C

x x

−

= = − → = − − +

− −

∫ ∫

Công thức 7: 2

cot x

sin

dx C

x

= − + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 2 2

1

cot cot x

sin

dx x C C

sin x x

′ − + = ⇒ = − + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được 2

cot u

sin

du C

u

= − + ∫

+ ( )

( )

( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 cot cot 2

sin sin sin 2 2

+

= = − + + → = − +

+ + ∫ ∫ ∫ dx d ax b dx ax b C x C

ax b a ax b a x

Ví dụ:

a)

6

5 5

2 2

1 1

cos2 2 cos2 2 sin 2 cot

sin sin 2 3

dx x x x dx xdx x dx x x C

x x

    − + = − + = + + +   ∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 6

b) ( )

( )

( ) ( ) ( ) 2

sin

2 2

1 1 1 1 3

cot 1 3 cot 1 3

sin 1 3 3 sin 1 3 3 3

du

u

dx d x

I I x C x C

x x

−

= = − → = − − −  + = − +  

− −

∫ ∫

c) 2

sin

2 2

2

2 2cot

2

sin sin

2 2

du

u

x

d

dx x I I C

x x

       

= = → = − +                

∫ ∫

Công thức 8: x x e dx e C = + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) x x x x e C e e dx e C ′

+ = ⇒ = + ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được u u e du e C = + ∫

+ ( )

2 2

2 2

1

1 1 2

1

2

+ +

+ + +

− −



= + 

= + = + →

 = − + 

∫

∫ ∫

∫

x k x k

ax b ax b ax b

k x k x

e dx e C

e dx e d ax b e C

a a e dx e C

Ví dụ:

a) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1

2 2 2

1 4 4 1 1 3

2 1 4.2

sin 3 sin 3 2 3 sin 3

x x x dx d x

e dx e dx dx e d x x

x x x x x

  − + − + − + − + = − + = − − + − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 2 1 cot 3 8

2 3

x

e x x C − + = − + + +

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 4 1 3 2 4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3

3 3

x x x

e c x dx e dx c x dx e d x c x d x + + +

+ − = + − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) 4 1 3 2 sin 1 3

3 3

x

e x C +

= − − +

Công thức 9:

ln

x

x a

a dx C

a

= + ∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ln

ln ln ln

x x x

a a a a x x C a a dx C

a a a

′

    + = = ⇒ = +

  ∫

Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u u x = ( ), ta được u u a du a C = + ∫

+ ( ) kx m kx m kx m 1 1 a dx a d kx m a C

k k

+ + + = + = + ∫ ∫

Ví dụ:

a) ( ) ( ) ( )

3 2

3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

3 2 3ln 2 2ln3

u

x x

x x x x x x a du I dx dx dx d x d x I C = + = + = + → = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 3 2 3 4 3 2 2 3 2 1 2 4 3

2 4 2ln 2 4

x

x x x x x x x

e dx dx e dx d x e d x e C

−

− + − + − + +

− = − = − − − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) ( )

5

1

I x x dx = + 2

∫

2) 3 5

2 7

1

I x dx 3

x

 

= −     ∫

3)

( )

5 2 3 3

3

I x x x dx = − + 4 2 ∫

4) 3

4 2 5

1 2 4

x

I x dx

x x

 

= − +  

  ∫

5) 5

1

x + dx

x

I

 

=     ∫

6)

4

6 2

2 3 x

I dx

x

+

= ∫