Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Bài giảng không gian Vector
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
1
BÀI GIẢNG TUẦN 4
KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON
PHẠM XUÂN ĐỒNG
MỞ ĐẦU: Để hiểu được tất cả phương trình Ax = b thì không thể bỏ qua cấu trúc của Ax là gì.
=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Ax
3
2
1
x
x
x
+
+
=
33
23
13
3
32
22
12
2
31
21
11
1
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
Biểu diễn trên đã liên kết từng véc tơ cột riêng rẽ thành toàn bộ “không gian” các véc tơ bởi các số
thực xi
tùy ý. Mối liên kết đó chính là sự kết hợp 2 phép toán: cộng véc tơ và nhân véc tơ với một số
thực. Từ đây, ta sẽ nhìn thấy những quan hệ giữa các không gian, như chứa nhau, gắn kết nhau hoặc
không gian các phần tử không phải là véc tơ cột nhưng có tính chất tương tự.
4.1 KHÔNG GIAN VECTƠ
I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU.
Định nghĩa: Không gian véc tơ thực n-chiều (không gian Rn
) là tập hợp các véc tơ v = (v1,...,vn)
có n thành phần là số thực cùng hai phép toán cộng véc tơ, nhân véc tơ với một số thực và thỏa
mãn 8 điều kiện.
II. HAI PHÉP TOÁN VÀ 8 ĐIỀU KIỆN CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ.
Cho ∀x, y ∈V , ∀c ∈R , phép cộng véc tơ: x + y ∈ V, phép nhân véc tơ với một vô hướng cx∈V
(1) x + y = y + x (giao hoán)
(2) x + (y + z) = (x + y) + z (kết hợp)
(3) Tồn tại véc tơ không 0 sao cho x + 0 = x
(4) Tồn tại véc tơ đối duy nhất – x thoả mãn x + (– x) = 0
(5) 1. x = x
(6) (c1c2)x = c1 (c2x) (kết hợp)
(7) c(x + y) = cx + cy (phân phối)
(8) (c1 + c2)x = c1x+ c2y (phân phối)
Chú ý :
(1) Ý nghĩa: với ∀ x , y ∈V , ∀ c ∈ R mà x + y ∈ V , cx ∈V ⇒ có tính đóng trong không gian V, khi
kết hợp với 8 điều kiện ⇒ các véc tơ sẽ lấp đầy không gian.
(2) + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 2 chiều v1 , v2 (không cùng phương) là c1v1 + c2v2
lấp đầy mặt phẳng Oxy
+ Tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba véc tơ 3 chiều v1 , v2 , v3 (không đồng phẳng) là c1v1 + c2v2 +
c3v3 lấp đầy không gian Oxyz.
Thế nào là lấp đầy? Ta biết một véc tơ 2 chiều tương ứng với 1 điểm trong mặt phẳng Oxy (và
ngược lại), nên nói rằng tất cả véc tơ 2 chiều lấp đầy mặt phẳng. Một cách hình dung khác như chú ý (2).
Cách này thường được diễn tả sự lấp đầy cho không gian Rn
với n > 3.
(3) Ngoài tập các véc tơ cột, ta thấy nhiều tập phần tử như ma trận, hàm số thực,… cũng có 2 phép
toán và thỏa mãn 8 điều kiện, nên các tập đó được gọi chung là không gian véc tơ.
+ Rn : không gian véc tơ thực n chiều R { x xn
xi R i n}
n
= ( 1
,..., |) ∈ = ,1
+ M(2×2,R): không gian véc tơ ma trận thực vuông cấp 2.
∈
= a b c d R
c d
a b
M | , , ,