Bài giảng Giải tích I

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

∼∼ ??? ∼∼

Bài Giảng

Giải Tích I

(Dùng cho sinh viên không chuyên Toán)

Đà Nẵng, tháng 03 năm 2008

Mục lục

1 Hàm số một biến số thực 4

1.1 Hàm số ...................................... 4

1.1.1. Định nghĩa hàm số ............................ 4

1.1.2. Các phương pháp cho hàm số ...................... 4

1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược ...................... 5

1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt ................... 7

1.1.5. Các hàm số sơ cấp ............................ 9

1.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định . . . . . . . . . . 20

1.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Đạo hàm của hàm một biến 25

2.1 Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1. Đạo hàm (cấp 1) của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2. ˛ nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Định nghĩa vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2. Ý nghĩa hình học của vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3. Cách tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.4. Vi phân các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.5. ˘ng dụng vi phân vào tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.6. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1. Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2. Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3. Công thức số gia giới nội. Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.4. Quy tắc Lôpitan để khử dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.5. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1. Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số . . . . . . . . . 41

1

-2-

2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . 42

2.4.3. Tính lồi lõm, điểm uốn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.4. Xác định tiệm cận của hàm số - Sơ đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . 44

3 Tích phân hàm một biến 47

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. Khái niềm nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.3. Các tính chất của tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.4. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.4. Một số định lý về tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.5. Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 59

3.2.6. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2. Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3. Một số tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1. Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.2. Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.3. Độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Hàm nhiều biến số 67

4.1 Các định nghĩa cơ bản và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.2. Miền trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1. Định nghĩa hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2. Giới hạn của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.3. Sự liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1. Đạo hàm riêng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.2. Vi phân riêng và vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.5. Hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Cực trị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1. Cực trị không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.2. Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3. GTLN (GTNN) của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 80

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

-3-

5 Phương trình vi phân 82

5.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.2. Phương trình biến số phân li và phân li được . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.3. Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.5. Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.2. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . 93

5.2.5. Nguyên lý xếp chồng nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Phương trình sai phân 97

6.1 Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1.1. Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1.2. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1. Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.2. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 101

6.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.1. Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ số hằng . . . . 104

6.3.3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 105

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

Chương 1

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC ???

1.1 HÀM SỐ

1.1.1. Định nghĩa hàm số

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp số thực X ⊆ R. Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số

thực R là một hàm số.

Tập X được gọi là miền xác định thường được kí hiệu Df và tập ảnh Y = f(X) của ánh

xạ được gọi là miền giá trị của hàm số f.

Hàm số thường được ký hiệu:

f : X −→ Y

x 7−→ f(x) = y

hoặc y = f(x). (1.1)

Ký hiệu trên cho phép ta xác định được giá trị của hàm số tại điểm x. x được gọi là biến

số độc lập và y = f(x) là giá trị của hàm số tại x.

Ví dụ 1.1. 1) °nh xạ

f : R −→ R

x 7−→ f(x) = y = √x, (0 ≤ x < +∞)

là một hàm số có miền xác định là Df = R+.

2) °nh xạ

f : R −→ R

x 7−→ f(x) = y = 1

x

, x 6= 0

là một hàm số có miền xác định là Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

3) f(x) =  1 nếu x hữu tỉ

0 nếu x vô tỉ

Miền xác định là Df = R, miền giá trị là tập {0, 1}

4) y = n2, n = 1, 2, 3,.... Miền xác định là tập mọi số tự nhiên, miền giá trị là tập mọi

số chính phương.

1.1.2. Các phương pháp cho hàm số

Có nhiều phương pháp cho hàm số, ta chỉ xét ba phương pháp thường gặp sau: cho hàm số

bằng biểu thức giải tích, bằng bảng và bằng đồ thị.

4

-5-

1.1.2.1. Phương pháp cho hàm số bằng biểu thức giải tích

Đây là phương pháp được dùng phổ biến nhất, đặc biệt trong việc nghiên cứu các vấn đề lý

thuyết. Trong phương pháp này hàm số được cho bằng một phương trình mà vế phải là giá

trị y của hàm số tại điểm x, vế trái là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. (chứa

các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, lấy căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán

lượng giác,. . . )

Trong phương pháp giải tích thông thường miền xác định không được chỉ rõ mà được

hiểu ngầm từ cách viết của nó. Miền xác định ở đây là tập tất cả các giá trị của x để biểu

thức có nghĩa.

Ví dụ 1.2. 1) Cho hàm số y = √4 − x2. Miền xác định là −2 ≤ x ≤ 2.

2) Hàm số y = sin x xác định trên toàn trục số.

3) Hàm số y = 1

√5 − x

+ log2(x − 3). Biểu thức có nghĩa khi 5 − x ≥ 0; x − 3 > 0. Từ đó

miền xác định của hàm số là khoảng (3, 5).

4) Hàm số y =







2 nếu x < −1

1 − x nếu −1 < x ≤ 0

1 + x nếu 0 <x< 1

2 nếu x ≥ 1

xác định trên toàn trục số.

5) Hàm số y =







1 nếu x > 0

0 nếu x = 0

−1 nếu x < 0

xác định với mọi số thực, miền giá trị là tập {−1, 0, 1}.

Hàm số này người ta gọi là hàm dấu, ký hiệu y = signx (đọc là ” xích - num ” của x).

1.1.2.2. Phương pháp bảng

Phương pháp này thường dùng trong vật lý, kỹ thuật. . . đặc biệt đối với những hàm: y =

x2; 1

x ;

√x; log10 x; sin x; cos x; tg x; ....

Nhược điểm của phương pháp này là không thể tính tất cả các giá trị của đối số và các

giá trị không có trong bảng pháp tính gần đúng.

1.1.2.3. Phương pháp đồ thị

Cho hàm số y = f(x) xác định trên X. Ta xây dựng cách biểu diễn đồ thị hàm số như sau:

Trong hệ trục toạ độ vuông góc xOy, gọi N là điểm trên trục hoàn sao cho ON = x.

Trên đường thẳng vuông góc với Ox lấy điểm M sao cho NM = y = f(x).

Tập hợp những điểm M (xây dựng như trên), ứng với tập tất cả các giá trị của x ∈ X là

biểu diễn hình học của hàm số y = f(x). Ta gọi tập điểm này là đồ thị hàm số y = f(x).

Như vậy, đồ thị hàm số là quỹ tích mọi điểm M(x, y) trên mặt phẳng sao cho toạ độ x, y

thoả mãn phương trình y = f(x).

Đồ thị hàm số giúp ta nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số. Tuy nhiên cũng

như phương pháp bảng phương pháp đồ thị có khuyết điểm là thiếu chính xác.

1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược

1.1.3.1. So sánh hàm số

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Ta nói f(x) bằng g(x), kí hiệu f = g,

nếu f(x) = g(x), ∀x ∈ D và f(x) khác g(x), kí hiệu f 6= g, nếu ∃x0 ∈ D : f(x0) 6= g(x0).

Hàm f(x) lớn hơn hoặc bằng g(x) (f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x)) trên D nếu

f(x) ≥ g(x) (f(x) ≤ g(x)), ∀x ∈ D. (1.2)

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

-6-

Khi không tồn tại x để dấu bằng trong (1.2) xảy ra thì ta nói f(x) lớn hơn (nhỏ hơn) g(x) .

1.1.3.2. Các phép toán số học trên hàm số

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Khi đó, các hàm số định nghĩa như sau:

(i). (f ± g)(x) := f(x) ± g(x)

(ii). (f.g)(x) := f(x).g(x)

(iii). (

f

g

)(x) := f(x)

g(x) khi g(x) 6= 0

lần lượt được gọi là tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số f(x) và g(x) trên D.

1.1.3.3. Hàm số hợp

Cho hàm số u = f(x) xác định trên D ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R sao

cho f(D) ⊆ U. Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.2. Hàm hợp của f và g, kí hiệu g ◦ f là một hàm số xác định bởi công thức

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X.

Chẳng hạn, y = sin(x2) là hàm hợp của hai hàm số y = sin u và u = x2. Cần chú ý rằng

(g ◦ f) 6= (f ◦ g).

1.1.3.4. Hàm số ngược

Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số

f : D −→ Y

x 7−→ f(x)

là một song ánh. Khi đó hàm số

f −1 : Y −→ D

y 7−→ f −1

(y) = x

sao cho f(x) = y được gọi là hàm số ngược của hàm số f.

Ví dụ 1.3.

1) Hàm số y = 2x có hàm số ngược là x = log2 y.

2) Hàm số y = 2x − 3 có hàm số ngược là x = y + 3

2 .

Như vậy, miền xác định của hàm f −1 chính là miền giá trị của hàm f và ngược lại. Đồ

thị của hàm số y = f −1(x) đối xứng với đồ thị của hàm y = f(x) qua đường phân giác thứ

nhất nếu ta dựng đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Đề-các vuông góc xOy.

Định lý 1.1.1. Nếu f là hàm số tăng nghiêm ngặt(giảm nghiêm ngặt) thì tồn tại hàm số

ngược f −1 của f. Hàm số f −1 cũng là hàm số tăng nghiêm ngặt( giảm nghiêm ngặt).

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

-7-

1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt

1.1.4.1. Hàm số đơn điệu

Cho hàm số f xác định trên X và D ⊆ X

Định nghĩa 1.1.4. Ta nói hàm số f đơn điệu tăng( hoặc đơn điệu giảm) trên D nếu với

mọi x1, x2 ∈ D thì từ x1 < x2 suy ra f(x1) ≤ f(x2) (hoặc f(x1) ≥ f(x2)).

Định nghĩa 1.1.5. Ta nói hàm số f tăng nghiêm ngặt( hoặc giảm nghiêm ngặt) trên D nếu

với mọi x1, x2 ∈ D thì từ x1 < x2 suy ra f(x1) < f(x2) (hoặc f(x1) > f(x2)).

Hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm gọi chung là hàm đơn điệu. Tính đơn điệu cho ta hình

dung dáng điệu đồ thị của hàm số trên D, đồ thị của hàm đơn điệu tăng (giảm) đi lên (đi

xuống) từ trái sang phải.

Ví dụ 1.4. 1) Hàm số f(x) = x3 tăng nghiêm ngặt trên R.

Thật vậy, Với x1 < x2 ta có:

f(x2) − f(x1) = x3

2 − x3

1 = (x2 − x1)(x2

2 + x2x1 + x2

1) > 0.

vì x2 > x1 và x2

2 + x2x1 + x2

1 > 0.

Do đó f(x1) < f(x2).

2) Hàm số y = [x] (hàm phần nguyên) tăng trên toàn trục số nhưng không tăng nghiêm

ngặt.

3) Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên các khoảng ￾

− π

2 + 2kπ, π

2 + 2kπ

và giảm

nghiêm ngặt trong các khoảng ￾π

2 + 2kπ, 3π

2 + 2kπ

.

4) Hàm Dirichlet χ(x) = (

1 nếu x hữu tỷ

0 nếu x vô tỷ là hàm không đơn điệu trên bất kì

khoảng nào.

1.1.4.2. Hàm số bị chặn

Định nghĩa 1.1.6. Hàm số f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trong miền D nếu tồn tại

một số M sao cho

f(x) ≤ M(hoặcf(x) ≥ M)

với mọi x ∈ D.

Nếu hàm số f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên D thì ta nói rằng f(x) bị chặn

trên D. Hay nói cách khác, hàm số f(x) bị chặn trong miền D nếu tồn tại một số dương M

sao cho

|f(x)| ≤ M

với mọi x ∈ D.

Ví dụ 1.5. 1) Hàm số y = sin x bị chặn vì | sin x |≤ 1.

2) Hàm số y = x2 không bị chặn trên R nhưng bị chặn dưới vì x2 ≥ 0, ∀x ∈ R.

1.1.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Ta nói một tập hợp số D ⊆ R là đối xứng nếu ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

Định nghĩa 1.1.7 (Hàm số chẵn). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi

là hàm chẵn nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(x) = f(−x).

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Lo

-8-

Chẳng hạn, các hàm số y = x2; y = cos x; y = 2|x|

,... là những hàm chẵn trên R. Đồ thị

của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Định nghĩa 1.1.8 (Hàm số lẻ). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là

hàm lẻ nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(−x) = −f(x).

Các hàm số y = x3; y = sin x; ... là những hàm số lẻ trên R. Hàm lẻ có đồ thị đối xứng

qua gốc tọa độ.

1.1.4.4. Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa 1.1.9. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T 6= 0 sao cho

f(x + T) = f(x) (1.3)

với mọi x thuộc miền xác định.

Từ định nghĩa ta thấy nếu T thoả mãn (1.3) thì tất cả những số có dạng nT, n ∈ N đều

thoả mãn (1.3). Do đó tập xác định của hàm số tuần hoàn không bị chặn.

Định nghĩa 1.1.10. Số dương nhỏ nhất (nếu có) trong các số T thoả mãn (1.3) được gọi

là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f(x).

Khi khảo sát các tính chất và dáng điệu của hàm số tuần hoàn ta chỉ cần khảo sát hàm

số này trong một khoảng có độ dài bằng chu kỳ của nó.

Ví dụ 1.6. 1) Hàm số sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số tg x, cotg x tuần hoàn

với chu kỳ π.

2) Hàm số y =

 1 nếu x hữu tỉ

0 nếu x vô tỉ là hàm tuần hoàn, không có chu kỳ.

Thật vậy, với mọi số hữu tỉ r, ta có x + r là số hữu tỉ nếu x hữu tỷ, ngược lại x + r là

số vô tỷ. Do đó f(x + r) = f(x), ∀x ∈ R.

3) Hàm số hằng f(x) = c cũng là hàm tuần hoàn không có chu kỳ.

1.1.4.5. Hàm lồi

Định nghĩa 1.1.11. Hàm số f(x) xác định trên một khoảng D được gọi là lồi trên D nếu

bất đẳng thức

f(αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf(x1) + (1 − α)f(x2)

được nghiệm đúng với mọi x1, x2 ∈ D và mọi α ∈ [0, 1]. Hàm f(x) được gọi là lõm trên D

nếu −f(x) là hàm lồi trên D.

Ví dụ 1.7. Hàm y = x2, y = |x| là những hàm lồi trên R. Hàm y = x3 là lồi trên (0, +∞)

và lõm trên (−∞, 0).

Hàm lồi có tính chất là: + Tổng của hai hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D.

+ Nếu y = g(u) là một hàm lồi đơn điệu tăng còn u = f(x) là hàm

lồi thì g ◦ f cũng là một hàm lồi.

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

-9-

1.1.5. Các hàm số sơ cấp

1.1.5.1. Hàm số luỹ thừa y = xα, α là một số thực khác 0

Miền xác định của hàm số này phụ thuộc vào α.

Nếu α ∈ N thì miền xác định là R.

Nếu α ∈ Z− thì miền xác định là R∗.

Nếu α ∈ Q+ thì miền xác định là R+.

Nếu α ∈ Q− hoặc α ∈ R \ Q thì miền xác định là R∗

+.

Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu α > 0 và giảm nghiêm ngặt nếu α < 0. Đồ thị hàm số

luôn đi qua điểm (1, 1) và đi qua gốc (0, 0) nếu α > 0 và không qua gốc nếu α < 0.

1.1.5.2. Hàm số mũ y = ax, (a > 0, a 6= 1)

Miền xác đinh: X = R. Miền giá trị R∗

+.

Hàm số tăng nếu a > 1 và giảm nếu 0 <a< 1.

Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0, 1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành.

1.1.5.3. Hàm số lôgarit: y = loga x, (a > 0, a 6= 1).

Miền xác định X = R∗

+, là hàm số ngược của hàm số mũ y = ax. Đồ thị hàm số đối xứng

với đồ thị hàm mũ y = ax qua đường phân giác thức nhất. Hàm số tăng nếu a > 1 và giảm

nếu 0 <a< 1.

Các tính chất của hàm số lôgarit:

loga xy = loga x + loga y

loga

x

y

= loga x − loga y, (x > 0,y > 0)

loga xα = α loga x

N = aloga N

loga c = loga b. logb c

1.1.5.4. Các hàm số lượng giác.

a) Hàm số y = sin x; y = cos x. Miền xác định R, miền giá trị [0, 1], tuần hoàn với chu kỳ 2π.

b) Hàm số y = tg x; y = cotg x:

+ Hàm số y = tg x xác định với mọi x 6= (2k + 1)π

2

, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng

￾

− π

2 + kπ, π

2 + kπ

, tuần hoàn với chu kỳ π.

+ Hàm số y = cotg x xác định với mọi x 6= kπ, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng

(kπ,(k + 1)π), tuần hoàn với chu kỳ π.

1.1.5.5. Các hàm số lượng giác ngược

a) Hàm số y = arcsin x.

Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên đoạn [−π

2

,

π

2

] nên có hàm ngược ký hiệu là

x = arcsin y. Nếu dùng chữ x chỉ biến số độc lập và biến y chỉ biến số phụ thuộc, thì hàm

số được ký hiệu là:

y = arcsin x

b) Hàm số y = arccos x.

Hàm số ngược của hàm số y = cos x trên đoạn [0, π] được ký hiệu y = arccos x.

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Lon

-10-

c) Hàm số y = arctg x là hàm ngược của hàm số y = tg x trong ￾

− π

2 , π

2

d) Hàm số y = arccotg x là hàm ngược của hàm số y = cotg x trong (0, π).

Các hàm số luỹ thừa, mũ, logarit, các hàm lượng giác và hàm số lượng giác ngược được

gọi chung là các hàm sơ cấp cơ bản. Từ những hàm sơ cấp cơ bản, bằng một số hữu hạn

các phép toán cộng, trừ nhân, chia và phép hợp hàm ta xây dựng được những hàm phức tạp

hơn và gọi là các hàm sơ cấp.

Ví dụ: Hàm số y = xπ + 5

2sin(x2+x+1) là một hàm sơ cấp.

1.2 GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.2.1. Giới hạn dãy số

1.2.1.1. Dãy số

Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp số tự nhiên vào tập số thực là một dãy số :

u : N −→ R

n 7→ u(n) = un

Người ta ký hiệu dãy số như sau: u1, u2,...,un,... hoặc gọn hơn (un).

Mỗi số un, (n = 1, 2, 3, . . . , n, . . .) là một số hạng hay một phần tử của dãy; un được gọi

là số hạng tổng quát của dãy còn n là chỉ số của nó.

Ví dụ 1.8. Nếu các dãy có số hạng tổng quát un cho bởi một trong các công thức: un =

1; un = (−1)n; un = 1+(−1)n

n

thì các dãy sẽ tương ứng là:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., 1,...

− 1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,...,(−1)n,...

0, 1, 0, 1

2

, 0, 1

3

,..., 1+(−1)n

n ,...

1.2.1.2. Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.2.2. Số thực ` được gọi là giới hạn của dãy số (un) nếu với mỗi  > 0, nhỏ

tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta đều có |un − `| < . Ký hiệu

lim un = ` (hoặc limn→∞ un = `, hoặc un → ` khi n → ∞)

Số n0 nói chung phụ thuộc vào .

Nếu dãy (un) có giới hạn hữu hạn là `, ta nói dãy (un) hội tụ về ` (hoặc tiến tới `). Ngược

lại, nếu (un) không có giới hạn, ta nói dãy phân kỳ.

Ví dụ 1.9.

1) Cho dãy (un), trong đó un = n + 1

n

. Chứng minh rằng lim un = 1.

Giải: Xét hiệu

|un − 1| = |

n + 1

n − 1| = 1

n

Do đó, ta có |un − 1| = 1

n

<  ⇔ n >

1



. Nếu ta chọn n0 = 1



+ 1 thì với mọi n>n0 ta có

|un − 1| < . Vì  là số dương bất kỳ nên ta có lim un = 1.

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Lon