Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Bài giảng các kĩ thuật giải nhanh phương trình lượng giác
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG
Email: [email protected]
Bỉm sơn: 10 – 02 – 2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1
Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng
của nó trong đại số cũng như hình học. Và đặc biệt là giải phương trình lượng giác là một câu không thể
thiếu trong đề thi đại học các năm. Vậy muốn làm tốt lượng giác trước tiên ta phải nắm được công thức
lượng giác
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các công thức lượng giác cần nhớ
1. Các công thức cơ bản
sin
tan
cos
a
a
a
với
2
a k
cos
cot
sin
a
a
a
với a k
tan .cot 1 a a 2 2
2 2
2 2
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
sin cos 1
cos 1 sin (1 sin )(1 sin )
a a a a
a a
a a a a
2
2
1
1 tan
cos
a
a
2
2
1
1 cot
sin
a
a
2. Công thức cộng và trừ
a. Với sin và cos
sin sin .cos cos .sin a b a b a b cos cos .cos sin .sin a b a b a b
sin sin .cos cos .sin a b a b a b cos cos .cos sin .sin a b a b a b
b. Với tan
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b
a b
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b
a b
3. Công thức tính tích thành tổng
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
a b b a a b
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
a. Công thức sin và cos
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b a b
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b a b
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b a b
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b a b
b.Công thức tan và cot
sin( )
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
a b a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
b a a b
a b
5. Công thức nhân đôi và nhân ba, nhân bốn
2 2
sin 2 2sin .cos
(sin cos ) 1 1 (sin cos )
a a a
a a a a
2 2 2 2
4 4
cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin
cos sin
a a a a a
a a
2
2 tan tan 2
1 tan
a
a
a
;
3
2
3tan tan tan 3 =
1 3tan
a a
a
a
3 2
2
sin 3 3sin 4sin sin 3 4sin
sin 4cos 1 sin 2cos 1 2cos 1
a a a a a
a a a a a
3 2
2
cos3 4cos 3cos cos 4cos 3
cos 1 4sin cos 1 2sin 1 2sin
a a a a a
a a a a a
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2
4 2 sin 4 4sin 2sin a a a 4 2 cos 4 8cos 8cos 1 a a a
6. Công thức hạ bậc
2 1 cos 2
cos
2
a
a
2 1 cos 2 sin
2
a
a
2
2
2
sin 1 cos 2
tan
cos 1 cos 2
a a
a
a a
2
2
2
cos 1 cos 2
cot
sin 1 cos 2
a a
a
a a
3 cos3 3cos
cos
4
a a
a
3 3sin sin 3 sin
4
a a
a
II. Giá tri lượng giác của các góc liên quan đặc biệt
1. Bỏ chẵn lần pi thì không thay đổi
sin 2 sin
cos 2 cos
x k x
x k x
tan 2 tan
cot 2 cot
x k x
x k x
2. Bỏ pi hay lẻ lần pi thì thành cộng biến thành trừ
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
x x
x x
x x
x x
TQ: sin( 2 ) sin k x x
cos( 2 ) cos k x x
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
x x
x x
x x
x x
TQ: sin( 2 ) sin k x x
cos( 2 ) cos k x x
3. Bỏ pi trên hai
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x
d. Đổi dấu
sin sin
cos cos
x x
x x
tan tan
cot cot
x x
x x
III. Công thức tính sina, cosa theo tan
2
a
t
Ta có
2
2 2
2
2
2
sin
1
1 1
cos cot
1 2
2
tan
1
t
a
t
t t
a a
t t
t
a
t
Một số công thức khác
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3
2
cos sin cos cos 2cos .cos 2. cos
2 4 4 2 4
3 3 2.sin 2.sin 2.sin 2.sin
2 4 4 4 4
a a a a a a
a a a a
Vậy cos sin 2 cos 2 sin 2 cos
4 4 4
a a a a x
Tương tự: cos sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin
4 4 4 4
a a a a a a
3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x
3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x
4 4 2 2 2 2 1 1 1 3 1 sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
x x x x x x x
4 4 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos 2 x x x x x
6 6 4 4 2 2 2 2 3 1 3 3 5 sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
4 4 4 8 8
x x x x x x x x x
6 6 4 4 2 2 cos sin cos 2 (sin cos sin cos ) x x x x x x x
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos x x x x x x x
2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos ) x x x x x x x
sin 2 2 2 sin cos ,1 cos 2 2cos ,1 cos 2 2sin
2
x
x x x x x x
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt (ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để
ghi nhớ các giá trị đặc biệt)
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4
- 3
-1
- 3 /3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x' x
u' u
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-/2
5/6
3/4
2/3
-/6
-/4
-/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2 1/2 2 /2 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
A
/3
/4
/6
3 /3
3
B /2 3 /3 1 3
O
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
Hoặc: Đường tròn lượng giác
Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M cos ;sin ứng với mỗi góc ta sẽ được
một điểm M cụ thể trên đường tròn
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
3600 Góc
Hslg
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
2
sin 0 1
2
2
2
3
2
1 3
2
2
2
1
2
0 0
cos 1 3
2
2
2
1
2
0 1
2
2
2
3
2
-1 1
tan 0 3
3
1 3 kxđ 3 -1 3
3
0 0
cot kxđ 3
1 3
3
0 3
3
-1 3
kxđ kxđ
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5
Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau
Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có). Điều kiện gồm, phương trình chứa
mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn…
Cụ thể:
- Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos 0 ,
2
x x k k
.
- Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin 0 , x x k k .
- Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: ,
2
x k k
.
Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác. Các phương pháp giải
phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn và kết luận (xem mục kĩ
năng 5 loại nghiệm và kết hợp nghiệm)
Chú ý:
Đối với phương trình
2
2
1 1
cos cos
2 2
1 1 sin sin
2 2
x x
x x
ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,
khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2
2
2
2
1
cos
2 2cos 1 0 cos 2 0
1 cos 2 0 2sin 1 0 sin
2
x
x x
x x
x
.
Tương tự đối với phương trình
2
2
sin 1 sin 1
cos 1 cos 1
x x
x x
ta không nên hạ bậc, mà nên biến đổi dựa vào
công thức 2 2 sin cos 1 x x . Lúc đó:
2 2
2 2
sin 1 cos 0 cos 0
cos 1 sin 0 sin 0
x x x
x x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6
Đối với phương trình cos cos 2 0 x x . Chúng ta có thể chuyển về dạng cos cos 2 x x
nhưng đơn giản hơn là thay 2
cos 2 2cos 1 x x để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx
Tương tự với phương trình sin cos 2 0 x x
Khi đặt ẩn phụ t x t x sin , cos thì điều kiện của t là t 1. Khi đặt ẩn phụ 2 2 t x t x sin , cos
thì điều kiện của t là 0 1 t . Khi đặt ẩn phụ t x x sin cos thì điều kiện của t là t 2 .
Một số phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ
Dạng 1:
2
sin sin ,
2
u v k
u v k
u v k
Đặc biệt:
sin 0
sin 1 2 ,
2
sin 1 2
2
x x k
x x k k
x x k
Dạng 2:
2
cos cos ,
2
u v k
u v k
u v k
Đặc biệt:
cos 0 2
2 2
cos 1 2 ,
cos 1 2
x x k k
x x k k
x x k
Dạng 3:
tan tan
,
,
2
u v u v k
k
u v k
Đặc biệt:
tan 0
,
tan 1
4
x x k
k
x x k
Dạng 4:
cot cot
,
,
u v u v k
k
u v k
Đặc biệt:
cot 0
2
,
cot 1
4
x x k
k
x x k
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7
§ 1: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x
a. Định nghĩa: Phương trình a x b x c sin cos (1) trong đó a, b, c và 2 2 a b 0 được gọi là
phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x
b. Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Kiểm tra
- Nếu 2 2 2 a b c phương trình vô nghiệm
- Nếu 2 2 2 a b c khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2 a b , ta được
2 2 2 2 2 2
sin cos a b c
x x
a b a b a b
Vì
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
nên tồn tại góc sao cho
2 2 2 2
cos , sin a b
a b a b
Khi đó phương trình (1) có dạng
2 2 2 2
sin .cos sin .cos sin( ) c c
x x x
a b a b
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Với cos 0 2 ,
2
x
x k k thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với cos 0 2 ,
2
x
x k k
Đặt tan
2
x
t suy ra
2
2 2
2 1 sin , cos
1 1
t t
x x
t t
Khi đó phương trình (1) có dạng
2
2
2 2
2 1 ( ) 2 0 (2)
1 1
t t a b c c b t at c b
t t
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, sau đó giải tìm x.
Dạng đặc biệt:
sin cos 0 tan 1 ,
4
x x x x k k
sin cos 0 tan 1 ,
4
x x x x k k
.
sin cos 0 x x k k sử dụng công thức sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
2 2 2 2 a b a x b x a b sin cos từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các
hàm số có dạng y a x b x sin cos ,
sin cos
sin cos
a x b x
y
c x d x
và phương pháp đánh giá cho một số phương
trình lượng giác .
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos 2 3 x x
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8
Cách 1:
Chia cả hai vế phương trình cho 2 2 1 3 10 ta được
1 3 3 sin 2 cos 2
10 10 10
x x
Đặt 3 1 sin , cos
10 10
. Lúc đó phương trình viết được dưới dạng
cos sin 2 sin cos 2 sin sin(2 ) sin
2 2
,
2 2
2
x x x x
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2:
Ta nhận thấy cos 0 x là nghiệm của phương trình
Với cos 0 ,
2
x x k k
.
Đặt t x tan , lúc đó
2
2 2
2 1 sin 2 , cos 2
1 1
t t
x x
t t
Phương trình sẽ có dạng
2
2 2
2 2
2 13 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3
1 1
t t
t t t t
t t
Hay tan 3 tan , x x k k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
2
sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin .cos 6cos
cos 0 cos 0
(sin 3cos )cos 0
sin 3cos 0 tan 3 tan
x x x x x
x x
x x x
x x x
2 ,
x k
k
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý:
Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có
một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Thí dụ 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000) Giải phương trình sau:
2 2 sin cos cos 3 cos 2 x x x x
Giải:
Phương trình 2 2 sin cos cos 3 cos 2 x x x x
2 sin 2 1 cos2 3 2 x x
Ta có
2 2 2 2
2
2
2 2 1 5 2 2
3 2 11 6 2
a b
c
Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 a b c 5 2 2 11 6 2
2
2 4 2 6 4 2 6 32 36(đúng)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn
chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Thí dụ 3: Giải phương trình (1 3)sin (1 3)cos 2 x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9
Giải:
Cách 1:
Thực hiện phép biến đổi
PT 1 3 1 3 2 1 sin cos
2 2 2 2 2 2 2
x x
Đặt 1 3 1 3 cos ; sin
2 2 2 2
x x
Phương trình được viết thành 1
sin .cos sin .cos sin( ) sin
2 4
x x x
2 2
4 4
,
3
2 2
4 4
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2:
Biến đổi phương trình về dạng
(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin 6 cos 2
4 4
1 3 1 1 sin cos sin cos cos sin
2 4 2 4 4 3 4 3 2 2
2 2
12 4 3
sin sin
4 3 4 2
12 4
x x x x x x
x x x x
x k x k
x
x k x
,
5
2
6
k
k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt tan
2
x
t và ta cũng thu được nghiệm chẵn
Thí dụ 4: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
Giải:
Phương trình 2 2 sin 2sin cos cos 3 cos 2
2 2 2 2
x x x x
x
sin 3 cos 1 x x
1 3 1 sin cos
2 2 2
x x
1
sin .cos cos .sin
3 3 2
x x
1
sin
3 2
x
2 2
3 6 6
,
5
2 2
3 6 2
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình có các nghiệm là 2 , 2 ,
2 6
x k x k k
Chú ý:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 10
Đối với phương trình dạng a P x b Q x c Q x d P x sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*) trong đó a, b, c, d
thoả mãn 2 2 2 2 a b c d 0 và P x Q x , không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho
2 2 a b ta có (*) sin ( ) sin ( ) P x Q x hoặc
(*) cos ( ) cos ( ) P x Q x trong đó , là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Thí dụ 5: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 x x x x
Giải:
PT 3 1 3 cos5 sin 5 2sin cos5 sin 5 sin sin 5 sin
2 2 3
x x x x x x x x
5 2
3 18 3
,
5 2
3 6 2
k
x x k x
k
k
x x k x
Vậy phương trình có nghiệm là , ,
18 3 6 2
k k x x k
Thí dụ 6: Giải phương trình: cos 7 sin 5 3(cos5 sin 7 ) x x x x
Giải:
PT cos 7 3 sin 7 3 cos5 sin 5 x x x x
1 3 3 1 cos7 sin 7 cos5 sin 5
2 2 2 2
x x x x
cos cos7 sin sin 7 cos cos5 sin sin 5
3 3 6 6
x x x x
7 5 2
3 6 cos 7 cos 5
3 6 7 5 2
3 6
x x k
x x
x x k
2 2
6 12
,
3
12 2
2 8 6
x k x k
k
k
x k x
Vậy phương trình có hai nghiệm
Thí dụ 7: (ĐH – B 2012) Giải phương trình 2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1. x x x x x
Giải:
Nhận xét 1: Sau khi nhân phá ra ta nhóm cụm 2
2cos 1 cos 2 x x và 2 3 sin cos 3 sin 2 x x x , không
còn hệ số tự do và chuyển cung 2x sang một bên, cung 1x sang một bên thì bài toán trở thành bài toán cơ
bản nhưng mở rộng của bài phương trình bậc nhất đổi với sin và cos nên ta có lời giải sau
Cách 1:
2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1 cos 2 3 sin 2 cos 3 sin x x x x x x x x x (*)
Chia hai vế cho 2 và biến đổi thành
2
2
3
cos 2 cos 2 2 ,
3 3 3 3 2
3
x k
x x x x k k
x k
Chú ý:
- Ta có thể biến đổi về sin như sau