Ba đường cônic và các bài toán liên quan.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ ĐOAN THY

BA ĐƯỜNG CÔNIC

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1:TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cho hai đường thẳng không vuông góc nhau và cắt nhau

tại điểm Quay đường thẳng quanh đường thẳng một góc 2 ta

nhận được một mặt gọi là mặt nón tròn xoay. Đường thẳng gọi là

trục của mặt nón, là trục đối xứng của mặt nón. Mỗi đường thẳng

nằm trong mặt nón gọi là một đường sinh thẳng, rõ ràng mọi đường

sinh của mặt nón đều đi qua đỉnh của mặt nón. Một mặt nón gồm hai

phần được phân cách bởi đỉnh của nó.

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng không đi

qua đỉnh của nó, ta được giao tuyến là:

 Một đường elip nếu cắt mọi đường sinh của mặt nón.

Đặc biệt nếu vuông góc với trục của mặt nón thì giao tuyến là

đường tròn.

 Một đường hypebol nếu song song với hai đường sinh

phân biệt của mặt nón.

 Một đường parabol nếu song song với duy nhất một

đường sinh của mặt nón.

Ba đường elip, hypebol, parabol còn gọi là ba đường cônic.

Chữ “cônic” có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp “konos”, nghĩa là hình

nón. Các từ elip, hypebol, parabol do nhà toán học Hy Lạp Apolonius

trước công nguyên) đề xuất.

Các đường cônic là một trong những nội dung cơ bản của môn

hình học của chương trình toán bậc trung học phổ thông và được đưa

vào giảng dạy từ lớp 10. Tuy nhiên do quỹ thời gian dành cho

chương trình này là không nhiều, hơn nữa sách giáo khoa cũng không

chỉ rõ việc định hướng tìm tòi lời giải cũng như chưa chú trọng đến

2

việc rèn luyện kĩ năng này nên học sinh thường lúng túng khi giải

những bài toán về đường cônic. Nhằm tìm hiểu các đường cônic, tôi

chọn đề tài luận văn thạc sỹ của mình là: “Ba đƣờng cônic và những

bài toán liên quan”

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu ba đường cônic và các vấn đề liên quan.

 Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán về ba đường cônic.

 Đưa ra quy trình và định hướng giải cho từng lớp bài toán.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

 Ba đường cônic và các bài toán liên quan thuộc chương trình

toán bậc trung học phổ thông.

 Quy trình và định hướng giải cho từng lớp bài toán về ba

đường cônic.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

 Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có liên quan đến nội

dung đề tài luận văn.

 Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.

 Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham

khảo, nội dung của luận văn được chia làm hai chương.

Chương 1: Ba đường cônic.

Chương này trình bày ba đường cônic cùng các khái niệm liên

quan, nhằm làm cơ sở cho chương sau .

Chương 2: Những bài toán về các đường cônic.

Chương này là một nội dung chính của luận văn, trình bày

một số bài toán liên quan đến ba đường cônic.

3

CHƢƠNG 1

BA ĐƢỜNG CÔNIC

Chương này trình bày ba đường cônic cùng các khái niệm liên

quan, nhằm làm cơ sở cho chương sau .

1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG

CÔNIC

1.1.1. Định nghĩa

Cônic là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tỉ số giữa

khoảng cách từ M đến một điểm cố định và khoảng cách từ

đến một đường thẳng cố định không đi qua bằng một hằng số

dương .

Điểm cố định gọi là một tiêu điểm, hằng số gọi là tâm sai

của cônic. Đường thẳng gọi là đường chuẩn của cônic tương ứng

với tiêu điểm

Cônic C

là một hằng số dương

1.1.2. Định nghĩa

Ta gọi một cônic có tâm sai ( tương ứng và

) là một parabol ( tương ứng là một elip, và là một hypebol )

1.1.3. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng cônic

Giả sử trong hệ tọa độ Đề Các , tiêu điểm có tọa độ là

, đường chuẩn có phương trình pháp dạng:

Gọi là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng , ta có:

và [ ]

M thuộc cônic C

⇔

⇔

[ ]

4

⇔

⇔

Phương trình này có dạng:

và được gọi là phương trình tổng quát của cônic.

Xét biểu thức

, ta có:

.

.

.

Như vậy:

⇔

⇔ cônic là một parabol.

⇔ ⇔ cônic là

một elip.

⇔ ⇔ cônic là

một hypebol.

1.1.4. Phƣơng trình chính tắc của các đƣờng cônic

a. Phương trình chính tắc của parabol

Để lập phương trình chính tắc của parabol, ta chọn hệ tọa độ

như sau Trục là đường thẳng đi qua tiêu điểm F và vuông

góc với đường chuẩn , hướng dương từ đến ( ).

Trục là trung trực của PF.

Đặt , khi đó trong hệ tọa độ

ta có (

) (

).Như vậy đường chuẩn có

phương trình

Gọi là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng thì hình

chiếu của trên có tọa độ

.

Điểm thuộc parabol ⇔ .

x

y

P O

H

- p/2 p/2

M( x; y )

F

∆

5

⇔ √

√

.

⇔

. ⇔

.

Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của parabol. Số

được gọi là tham số tiêu của parabol. Từ chứng minh trên ta

thấy nếu là một điểm thuộc parabol

thì

. Độ dài được gọi là bán kính qua tiêu điểm F của

điểm .

 Hình dáng của parabol

a) Phương trình chính tắc của parabol chỉ chứa số hạng bậc

chẵn đối với

nên parabol nhận làm trục đối xứng.

b) Giao của parabol với trục đối

xứng là gốc tọa độ , gọi là đỉnh của

parabol.

c) Từ phương trình chính tắc

ta thấy nghĩa là các điểm của parabol đều nằm về

phía phần dương của trục cùng phía với tiêu điểm (

)

b. Phương trình chính tắc của elip và hypebol

Để lập phương trình chính tắc của elip và hypebol, ta chọn hệ

tọa độ sao cho tiêu điểm F có tọa độ và đường

chuẩn :

với

hay

.

là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng ta có:

và

[ ]

(

)

M thuộc cônic C với ⇔

p/2

y

O x

- p/2

F

∆

6

⇔

[ ]

⇔

(

)

⇔

(

)

⇔

(

)

⇔

 ⇔ C là một elip ⇔

Đặt

phương trình (1) trở thành :

và gọi là phương trình chính tắc của elip.

 ⇔ C là một hypebol ⇔

Đặt

, phương trình (1) trở thành :

và gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Chú thích: Từ chứng minh trên nếu tiêu điểm có tọa độ

và đường chuẩn có phương trình

thì

phương trình chính tắc của cônic C với không thay đổi. Điều

này có nghĩa với mọi elip hoặc hypebol đều có hai tiêu điểm

và hai đường chuẩn tương ứng lần lượt với hai

tiêu điểm này là

.

 Xét elip có phương trình chính tắc:

, với

.

Gọi là một điểm bất kỳ thuộc elip , lần

lượt là hình chiếu vuông góc của lên hai đường chuẩn

7

Ta có (

) (

),

(

)

(

)

,

(

)

(

)

⇔ ⇔

(

)

⇔

(

)

⇒

Tương tự ⇒

Hai đoạn lần lượt được gọi là bán kính qua tiêu

điểm , qua tiêu điểm của điểm Ta có: ,

và do đó elip còn được định nghĩa như sau:

c. Định nghĩa tương đương của elip

Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định với

. Elip là tập hợp các điểm của mặt phẳng sao cho

với là một hằng số lớn hơn .

Hai điểm gọi là hai tiêu điểm của elip, khoảng cách

giữa hai tiêu điểm gọi là tiêu cự của elip.

Lập luận tương tự như trường hợp cônic là elip, ta có với

.

- c

y

y

O

a/e - a/e

H ( - a/e; y ) H ( a/e; y)

F F

M( x; y )

∆1 ∆2

x