Áp dụng tính chất ar và tính chất điểm bất động để phân loại topo một số lớp tập.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

PHẠM THỊ QUỲNH ANH

ÁP DỤNG TÍNH CHẤT AR VÀ

TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỂ

PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán - Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2013

Mục lục

Lời mở đầu 2

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Phép co rút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 2. TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

VÀ ÁP DỤNG PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP 27

2.1. Tính chất AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Tính chất điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Mối quan hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động 34

2.4. Áp dụng phân loại topo một số lớp tập . . . . . . . . . . . 38

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

LỜI MỞ ĐẦU

Người ta bắt đầu nghiên cứu topo vào những năm đầu của thế kỉ 20. Từ

khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc

nhất của toán học. Các không gian topo được tìm thấy sẵn có trong giải

tích toán học. Điều này đã làm cho ngành nghiên cứu các không gian topo

trở thành đối tượng quan trọng trong việc thống nhất toán học. Topo

nghiên cứu những đặc tính hữu dụng của các không gian và các ánh xạ

như là tính AR, tính liên thông, tính compact, tính liên tục.

Tính chất AR là một tính chất được nghiên cứu rất nhiều trong lĩnh

vực topo. Nó cũng là tâm điểm gây sự chú ý và được nhiều nhà Toán học

trong và ngoài nước quan tâm. Nó có ứng dụng rất nhiều trong toán học.

Trong đó, đáng chú ý là định lí Borsuk, một định lí rất thú vị.

Tính chất điểm bất động cũng có sức thu hút rất lớn đối với nhiều nhà

Toán học. Bắt đầu là nguyên lý Brouwer năm 1910, được xem là định lý

trung tâm của lý thuyết điểm bất động. Sau đó người ta tìm cách mở rộng

trên các không gian khác, như vào năm 1930, Schauder đã mở rộng kết

quả của Brouwer đối với không gian Banach.

Các tính chất AR cũng như tính chất điểm bất động đều bất biến qua

các phép đồng phôi. Điều đó nghĩa là một tập đồng phôi với một không

gian AR hay một không gian điểm bất động thì cũng là AR hay là một

không gian điểm bất động. Áp dụng tính chất này để chỉ ra hai tập trong

R

2

, R

3 hay R

n

là không đồng phôi với nhau là một cách làm rất hiệu quả.

Và với mục đích tìm hiểu về tính chất AR, tính chất điểm bất động em đã

chọn đề tài:"Áp dụng tính chất AR và tính chất điểm bất động để phân

loại topo một số lớp tập" làm khóa luận kết thúc bốn năm đại học của

mình.

Khóa luận sẽ trình bày một cách hệ thống những vấn đề liên quan đến

tính AR, tính chất điểm bất động và áp dụng chúng để phân loại topo một

số lớp tập.

Khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.

− 2 −

Chương này chủ yếu trình bày lại các kiến thức trong giải tích cơ sở

nhằm phục vụ cho chương 2.

Chương 2: Tính chất AR, tính chất điểm bất động và áp dụng phân loại

topo một số lớp tập.

Chương này trình bày theo 4 mục chính:

- Tính chất AR.

- Tính chất điểm bất động.

- Mối liên hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động.

- Áp dụng tính chất AR, tính chất điểm bất động để phân loại topo

một số lớp tập.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế

vì vậy em thật sự mong đợi sự góp ý, sữa chữa của tất cả các thầy cô và

các bạn để bài luận văn của em được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Hoàng

Thành đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận

văn.

Xin cảm ơn tập thể các thầy cô khoa Toán đã tận tình giúp đỡ em suốt

thời gian qua.

Đà Nẵng, ngày.....tháng.....năm.....

Sinh viên

Phạm Thị Quỳnh Anh

− 3 −

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → R

thỏa mãn các điều kiện sau

1. d (x, y) ≥ 0 ∀ x , y ∈ X và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

2. d (x, y) = d (y, x) ∀ x , y ∈ X.

3. d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) ∀ x , y , z ∈ X.

Khi đó d được gọi là metric trong X và (X, d) được gọi là không gian

metric.

Ví dụ 1.1. Không gian Euclide R

k

là không gian metric với metric

d(x, y) = (X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2

)

1

2

(x = (ξ1, ..., ξk), y = (η1, ..., ηk) ∈ R

k

)

Thật vậy, hiển nhiên d thỏa mãn các tiên đề 1), 2).

Ta kiểm tra tiên đề 3).

Lấy x = (ξ1, ..., ξk) ∈ R

k

, y = (η1, ..., ηk) ∈ R

k

, z = (ζ1, ..., ζk) ∈ R

k

, ta có:

(d(x, y))2 =

X

k

i=1

|ξi − ζi

|

2 6

X

k

i=1

(|ξi − ηi

| + |ηi − ζi

|)

2

=

X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2 + 2X

k

i=1

|ξi − ηi

||ηi − ζi

| +

X

k

i=1

|ηi − ζi

|

2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có

X

k

i=1

|ξi − ηi

||ηi − ζi

| 6 (

X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2

)

1

2 (

X

k

i=1

|ηi − ζi

|

2

)

1

2

Vì vậy:

(d(x, y))2 6

X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2 + 2(X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2

)

1

2 (

X

k

i=1

|ηi − ζi

|

2

)

1

2 +

X

k

i=1

|ηi − ζi

|

2

= [(X

k

i=1

|ξi − ηi

|

2

)

1

2 (

X

k

i=1

|ηi − ζi

|

2

)

1

2 ]

2 = [d(x, y) + d(y, z)]2

Định nghĩa 1.2. Cho (X, d) là không gian metric, dãy {xn} các phần tử

của không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến phần tử x0 của X nếu

lim

n→∞

d(xn, x0) = 0

hay với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 d(xn, x0) < ε.

Kí hiệu lim

n→∞

xn = x0 hoặc xn → x0, x0 gọi là giới hạn của dãy {xn}.

Tính chất 1.1. (Về sự hội tụ trong không gian metric) Cho {xn}, {yn}

là các dãy trong không gian metric X . Ta có

a. Nếu dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X thì mọi dãy con {xnk

} của dãy {xn}

cũng hội tụ đến x.

b. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

c. Nếu xn → x và yn → y thì d(xn, yn) → d(x, y) khi n → ∞.

Chứng minh

a. Do lim

n→∞

xn = x nên

Với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho: ∀n ≥ n0 thì d(xn, x) < ε .

Vậy với mọi k ≥ n0 thì nk ≥ k ≥ n0, ta có d(xnk

, x) < ε.

Hay lim

n→∞

xnk = x

− 5 −