Ánh xạ trong không gian banach.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

NGUYỄN THỊ MINH KHA

ÁNH XẠ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Cử nhân Toán Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN

Đà Nẵng, 3/2014

2

Mục lục

Lời Cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Không gian vectơ định chuẩn 6

1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn. Các ví dụ 7

1.2.1 Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn . 7

1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác định bởi tích

vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Tập đóng - tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Định nghĩa tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Định nghĩa tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3 Định nghĩa điểm dính . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Giới hạn 20

2.1 Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Giới hạn tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Giới hạn của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Giới hạn của ánh xạ hợp . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4 Giới hạn của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Giới hạn không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Tập compact 37

3.1 Tính chất cơ bản của tập compact . . . . . . . . . . . . . . 37

Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

3

3.2 Ánh xạ liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Quan hệ với phủ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Định lý Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Chuỗi 48

4.1 Định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Chuỗi số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Chuỗi trong không gian vectơ định chuẩn . . . . . . . . . . 56

4.5 Hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . 58

4.6 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.7 Phép tính đạo hàm và tích phân của chuỗi . . . . . . . . . . 61

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

4

Lời cảm ơn!

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Nhân Tâm Quyền, là thầy

hướng dẫn,đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình

trong suốt quá trình em thực hiện đề tài của mình.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán

cùng với các Thầy cô khoa Toán của Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng,

đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và

hoàn thành tốt luận văn.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp động

viên,... tất cả những người đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em hoàn thành

tốt luận văn này.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Minh Kha

Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

5

Lời nói đầu

Lý thuyết giải tích hàm là chìa khóa để hiểu được các môn học về giải

tích toán học. Đối tượng chính của giải tích hàm cổ điển là các không gian

và các toán tử ánh xạ tuyến tính liên tục. Nền tảng của giải tích hàm bao

gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng.

Dựa vào nền tảng trên, các nhà toán học nghiên cứu và tìm hiểu ánh

xạ trên nhiều không gian như: không gian metric, không gian định chuẩn,

không gian Banach. Vì vậy, để mở rộng vốn hiểu biết ít ỏi về không gian

Banach đặc biệt là ánh xạ nên em lựa chọn đề tài nghiên cứu "Ánh xạ

trong không gian Banach".

Với nội dung nghiên cứu này, luận văn được viết thành 4 chương.

F Chương một: Trình bày định nghĩa về không gian vectơ định chuẩn,

phát biểu các định lý, và các tính chất. Ngoài ra, trình bày tập đóng,

tập mở, và tính đầy đủ trong không gian Banach.

F Chương hai: Trình bày các tính chất cơ bản của giới hạn, ánh xạ liên

tục trong không gian Banach.

F Chương ba: Trình bày các tính chất cơ bản của tập compact và ánh

xạ liên tục trên tập compact trong không gian Banach.

F Chương bốn: Trình bày định nghĩa cơ bản về chuỗi số như: chuỗi số

dương, chuỗi đan dấu, chuỗi hàm trong không gian Banach, phát biểu

các định lý, và các tính chất.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Minh Kha

Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

6

Chương 1

Không gian vectơ định chuẩn

1.1 Không gian vectơ

Một không gian vectơ trên trường R là một tập E cùng với hai ánh xạ

mà chúng lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô hướng,

+ : V × V → V

(v, w) 7→ v + w

· : K × V → V

(x, v) 7→ xv

thỏa mãn các tiên đề sau:

a) u + v = v + u với mọi u, v ∈ V

b) u + (v + w) = (u + v) + w với mọi u, v, w ∈ V.

c) Tồn tại một phần tử 0 ∈ E sao cho

0 + v = v + 0 = v với mọi v ∈ E

.

d) Nếu v ∈ E thì tồn tại phần tử −v ∈ E sao cho

v + (−v) = (−v) + v = 0.

e) 1 · v = v với v ∈ E, ở đây 1 là phần tử đơn vị của trường R.

f) (a · b)v = a · (bv) với mọi a, b ∈ R, v ∈ E.

g) (a + b)v = av + bv với mọi a, b ∈ R, v ∈ E.

h) a(v + w) = av + aw với mọi a ∈ R, v, w ∈ E.

Từ các tiên đề trên ta suy ra:

Phần tử 0 của E là duy nhất.

Phần tử −u là duy nhất với mọi u ∈ E.

Ngoài ra −u = (−1) · u với mọi u ∈ E.

Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha