Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

ĐỖ HỮU ĐẠT

ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN

KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng - 2021

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

ĐỖ HỮU ĐẠT

ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN

KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn:

TS. Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2021

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS.

Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho em

trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhờ đó em có thể hoàn thành được

luận văn này.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã gặp không ít khó khăn khi

tìm tòi và dịch tài liệu cũng như những hạn chế về mặt kiến thức. Tuy

vậy, nhờ sự động viên từ quý thầy cô giáo, sự quan tâm của gia đình cũng

như bạn bè đã giúp em có động lực phấn đấu và đã hoàn thành được bài

luận này. Đây cũng là kỷ niệm đáng nhớ của em trong thời gian học tập

tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng.

Em xin chân thành cảm ơn!

SV thực hiện đề tài

Đỗ Hữu Đạt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHƯƠNG 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Khái niệm không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Tập hợp đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.4. Bao đóng của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5. Phần trong của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. T1-không gian và T2-không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.7. Tập hợp compact và ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

CHƯƠNG 2. Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian

metric suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng . . . . . . . . . . . 36

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, lý thuyết về không gian metric suy rộng

không ngừng phát triển và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực

nghiên cứu khác nhau của topo đại cương. Trên cơ sở rất nhiều công trình

nghiên cứu về cơ sở, mạng và k-mạng, một số khái niệm liên quan lần lượt

được xuất hiện như mạng Pytkeev, cp-mạng, ck-mạng, cn-mạng, sp-mạng.

Một trong những hướng được các tác giả trên thế giới quan tâm nhiều hiện

nay là nghiên mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên các không gian

metric suy rộng và bất biến của chúng qua các ánh xạ (xem [3, 7]).

Bài toán về sự bảo tồn của một số tính chất topo thông qua các ánh

xạ là một trong những bài toán trọng tâm của topo đại cương. Trong

[5], Chuan Liu đã chứng minh rằng không gian với cs-mạng hữu hạn địa

phương và không gian với cơ sở điểm-đếm được là bảo tồn qua ánh xạ

đóng, phủ-dãy và liên tục. Nhờ đó, các tác giả thu được sự bảo tồn của

không gian g-khả metric và không gian qua ánh xạ đóng phủ-dãy, qua

ánh xạ đóng và mở. Trong [9], L. Q. Tuyen đã chứng minh rằng mỗi ánh

xạ đóng phủ-dãy trên không gian với cơ sở yếu điểm-đếm được là ánh xạ

1-phủ-dãy. Gần đây, S. Lin và X. Liu đã chứng minh rằng, không gian với

cn-mạng hoặc sp-mạng được bảo tồn qua ánh xạ giả-mở, và không gian với

cs∗

-mạng hoặc cs′

-mạng được bảo tồn qua các ánh xạ thương-dãy (xem

[4, 7]).

Với mong muốn nghiên cứu sự bảo tồn của không gian với cn-mạng

(hoặc sp-mạng) đếm được địa phương và không gian với cn-mạng (hoặc

sp-mạng) đếm được địa phương qua các ánh xạ mở hoặc ánh xạ đóng,

dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết