Amart điều kiện

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu.........................................................................................2

Chương I::NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: ..................................4

I. Các khái niệm cơ bản ....................................................4

II. Một số kết quả:...............................................................8

Chương II: AMART: .........................................................................11

I. Sự hội tụ của Amart.....................................................11

II. Tính ổn định của Amart ..............................................15

III. Khai triển Riesz của Amart .........................................18

Chương III: DV – AMART: ..............................................................23

I. Xây dựng không gian Dv .............................................23

II. Sự hội tụ của Dv - Amart .............................................25

Chương IV: AMART ĐIỀU KIỆN: ....................................................44

I. Một số khái niệm và kết quả liên quan .......................44

II. Các định lý đặc trưng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47

Kết luận .................................................................................................

63

Tài liệu tham khảo ............................................................................64

LỜI NÓI ĐẦU

1

Từ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đã được phát triển

mạnh mẽ. Một trong những hướng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá

trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết

Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu được của lý thuyết

xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu được áp dụng rộng

rãi trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế.

Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong lý thuyết

xác suất được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong

quá trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của dãy các đại lượng ngẫu nhiên

được nghiên cứu thông qua hàm tương quan. Đối với quá trình Markov, đặc

trưng cơ bản của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình

Martingale, sự phụ thuộc được nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều

kiện.

Một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các

định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên.

Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz

của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: Dv - Amart và Amart điều

kiện:

Luận văn gồm bốn chương:

Chương I: Những kiến thức chuẩn bị:

I. Các khái niệm cơ bản

2

II.Một số kết quả

Chương II: Amart :

I. Sự hội tụ của Amart

II. Tính ổn định của Amart

III. Khai triển Riesz của Amart

Chương III: Dv - Amart:

I. Xây dựng không gian Dv

II.Sự hội tụ của Dv - Amart

Chương IV: Amart điều kiện:

I. Một số khái niệm và kết quả liên quan

II.Các định lý đặc trưng cho sự hội tụ hầu chắc chắn

Do có những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn

chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong thầy cô và bạn đọc thông

cảm góp ý thêm.

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự giúp đỡ tận tình của

thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy trong tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin -

Trường đại học Sư phạm Hà Nội để hoàn thành bản luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo ./.

3

CHƯƠNG I. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên.

Giả sử không gian xác suất (Ω, ℱ, P); (E, ℬ) là không gian Mêtric đầy đủ,

khả ly.

− Một ánh xạ đo được từ Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên,

ký hiệu là X.

Khi đó : X: Ω → E sao cho X-1 (B) ∈ ℱ, với mọi B ∈ ℬ.

Khi E = R (E = Rn

) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên.

− Giả sử {Xn} n ∈ N là dãy các đại lượng ngẫu nhiên tương thích với họ {ℱn},

nghĩa là Xn đo được đối với ℱn với mọi n.

Khi đó ta nói rằng: {(Xn, ℱn)}n ∈ N tạo thành dãy ngẫu nhiên.

Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn.

− Ánh xạ τ: Ω → N

ω → τ(ω) thoả mãn 2 điều kiện:

(i) P[τ(ω) < ∞] = 1

(ii) [ω:τ(ω) = n ] = [τ=n] ∈ ℱn

được gọi là điểm dừng bị chặn.

Trong đó: ℱn là họ tăng các σ - đại số con của ℱ.

Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn.

− Với τ ∈ T, ta xác định: Xτ: Ω → E

ω → Xτ(ω) = Xτ(ω) (ω)

ℱτ= {B∈ ℱ : B ∩ [τ=n] ∈ ℱn} là σ - đại số trên Ω

⇒ ℱτ là σ - đại số con của ℱ

4

Xτ là biến ngẫu nhiên ⇒ Xτ là ℱτ - đo được.

Chứng minh:

+ Fτ là σ - đại số:

Với mỗi τ ∈ T: ℱτ = {B ∈ ℱ: B ∩ [τ = n] ∈ ℱn}

a. Ω ∩ [τ = n] = [τ = n] ∈ ℱn ⇒ Ω ∈ ℱτ

φ ∈ ℱ (vì ℱ là σ - đại số)

φ ∩ [τ = n] = φ ∈ ℱn ⇒ φ ∈ ℱτ

b. A ∈ ℱτ

A

c

= Ω\A

Xét Ac ∩ [τ = n] = (Ω\A) ∩ [τ = n] = (Ω ∩ [τ = n]) \ (A ∩ [τ = n]) ∈ ℱn

⇒ Ac ∈ ℱτ

c. {Ai} i ∈ I mà Ai ∈ ℱτ, Ai ∩ Aj = φ, với mọi i ≠ j

 [ ] 

i

i

i

i Α ∩ τ = n = (Α ∩ [τ = n])∈ ℱn ⇒



i

Αi ∈ ℱτ

Vậy ℱτ là σ - đại số trên Ω.

+ Xτ là biến ngẫu nhiên:

Với a ∈ R1

, ta phải chứng minh: [ Xτ < a] ∈ ℱn.

Ta có: [Xτ < a] ∩ [τ = n] = [Xn < a] ∩ [τ = n] ∈ ℱn

Xn là biến ngẫu nhiên ⇒ [Xn < a] ∈ ℱn

τ là thời điểm dừng nên [τ = n] ∈ ℱn ⇒ [Xτ < a] ∈ ℱn

⇒ Xτ là biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo.

Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)n∈N được gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n ∈ N thì

các biến ngẫu nhiên Xn là ℱn -1 - đo được, ở đó ℱ0 = ℱ1.

5