79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

[email protected] - Trang 1 -

79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU

- Tài liệu để ôn thi đại học và cao đẳng

- Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn

- Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết

BT1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A B C D (1;0 , 2;4 , 1;4 , 3;5 ) (− − ) ( ) ( ) và đường thẳng

d x y : 3 5 0 − − = . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB MCD , có diện tích bằng nhau.

Giải

M thuộc d thì M a a ( ;3 5 − )

Mặt khác :

( 3;4 5 )

1

: 4 3 4 0

3 4

AB AB

x y AB x y

= − ⇒ =

−

= ⇔ + − =

−

(4;1 17 )

1 4 : 4 17 0

4 1

CD CD

x y CD x y

= ⇒ =

+ −

= ⇔ − − =

Tính : ( ) ( ) ( )

1 2

4 3 3 5 4 4 3 5 17 13 19 3 11

, ,

5 5 17 17

a a a a a a

h M AB h

+ − − − − − − −

= = = = =

Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :

1 2

11

1 1 5.13 19 17. 3 11 13 19 3 11

. . 12

2 2 5 17 13 19 11 3 8

a a a a a

AB h CD h

a a

a



− −  − = − =  = ⇔ = ⇔ ⇔ 

− = − 



 =

Vậy trên d có 2 điểm : 1 2 ( ) 11 27 ; , 8;19

12 12

M M     −

 

BT2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A B (1;0 , 0;2 ) ( ) và trung điểm I của AC

nằm trên đường thẳng d y x : = . Tìm toạ độ đỉnh C

Giải

Nếu C nằm trên d y x : = thì A a;a ( ) do đó suy ra C 2a 1;2a ( − )

Ta có : ( ) 0 2

, 2

2

d B d

−

= = .

Theo giả thiết : ( ) ( ) ( ) 1 4 2 2 . , 2 2 2 2 0

2 2

S AC d B d AC a a = = ⇒ = = − + −

2 2

1 3

2

8 8 8 4 2 2 1 0

1 3

2

a

a a a a

a

 −

 =

⇔ = − + ⇔ − − = ⇔ 

 +

 =



Vậy ta có 2 điểm C : 1 2

1 3 1 3 1 3 1 3

; , ;

2 2 2 2

C C

    − − + +    

   

BT3. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi A B (1;1 , 2;5 ) (− ) và ®Ønh C n»m trªn

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

[email protected] - Trang 2 -

®−êng th¼ng x − = 4 0 , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 3 6 0 x y − + = . TÝnh

diÖn tÝch tam gi¸c ABC.

Giải

Tọa độ C có dạng : C 4;a ( ), ( ) ( )

5

3;4 1 1 : 4 3 7 0

3 4

AB

AB x y AB x y

 =

 = − ⇒ − −  = ⇔ + − =  −

Theo tính chất trọng tâm ;

1 2 4 1

3 3

1 5 6

3 3 3

A B C

G G

A B C

G G

x x x

x x

y y y a a

y y

  + + − +

= = =  

  ⇔

+ + + + +   = = =  

Do G nằm trên 2 3 6 0 x y − + = , cho nên : 6

2.1 3 6 0 2

3

a

a

  +

⇒ − + = ⇔ =     .

Vậy M 4;2 ( ) và ( ) ( ) 4.4 3.2 7 1 1 15 , 3 . , 5.3

16 9 2 2 2 ABC d C AB S AB d C AB

+ −

= = ⇒ = = =

+

(đvdt)

BT4. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A B (2; 1) , (1; 2) − − , träng t©m G cña

tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng d x y : 2 0 + − = . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC

b»ng 27

2

.

Giải.

d

M

A

B

C

Ta có : M là trung điểm của AB thì 3 1

;

2 2

M

    −

 . Gọi C a;b ( ), theo tính chất trọng tam tam giác

:

3

3

3

3

G

G

a

x

b

y

 +

= 



−  =



Do G nằm trên d : ( ) 3 3 2 0 6 1

3 3

a b a b + −

+ − = ⇔ + =

Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 1 3 5

1;3 : 3 5 0 ,

1 3 10

x y a b

AB AB x y h C AB − − − −

= ⇒ = ⇔ − − = ⇔ =

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

[email protected] - Trang 3 -

Từ giả thiết : ( ) 1 1 27 2 5 2 5

. , 10.

2 2 2 2 10 ABC

a b a b

S AB h C AB

− − − −

= = = =

2 5 27 2 32

2 5 27

2 5 27 2 22

a b a b

a b

a b a b

  − − = − = ⇔ − − = ⇔ ⇔     − − = − − = −

Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :

1 2 ( )

20

6 6 3

2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;12

6 6 3 3 3

12 2 22 3 18

6

b

a b a b

a b a

a C C

a b a b

b a b a

a



= −     + = + = 

    

    − = =    ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒   − −   + = + =            =

    − = − = −   

 = − 

BT5. Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A 2;1 ( ). Đường cao qua đỉnh B có phương trình

x y − − = 3 7 0 . Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x y + + =1 0 . Xác định tọa độ B

và C. Tính diện tích ∆ABC .

Giải

M

B

A

C

Đường thẳng AC qua A 2;1 ( ) và vuông góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ chỉ phương

( ) ( ) ( ) 2

1; 3 :

1 3

x t

n AC t R

y t

 = +

= − ⇒  ∈

 = −

Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :

2

1 3

1 0

x t

y t

x y

 = +  ⇒  = −



 + + =

Giải ta được : t = 2 và C 4; 5 ( − ). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B a a (3 7; + ).

M là trung điểm của AB 3 9 1

;

2 2

a a M

  + +

⇒    .

Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :

( )

3 9 1 1 0 3

2 2

1; 2

a a

a

B

+ +

+ + = ⇔ = −

⇒ −

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

[email protected] - Trang 4 -

Ta có :

( )

( )

( )

1; 3 10

2 1 : 3 5 0

1 3

12

;

10

AB AB

x y AB x y

h C AB

= − − ⇒ =

− −

= ⇔ − − =

=

Vậy : ( ) 1 1 12 . , 10. 6

2 2 10 ABC S AB h C AB = = = (đvdt).

BT6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5;2) . Phương trình đường

trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x y + = – 6 0 và 2 – 3 0 x y + = . Tìm tọa

độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

x + y - 6 = 0

M

B N C

A

Gọi B a;b ( ) suy ra

5 2

;

2 2

a b M

  + +    . M nằm trên trung tuyến nên : 2 14 0 a b − + = (1).

B, B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên ( ) ( ) :

x a t

BC t R

y b t

 = +  ∈

 = +

.

Từ đó suy ra tọa độ N :

6

2

3 6

2

6 0 6

2

a b

t

x a t

a b y b t x

x y b a

y

 − −

= 

 = + 

  − −   = + ⇒ =

   + − =  + −

= 



3 6 6

;

2 2

a b b a N

  − − + −

⇔    . Cho nên ta có tọa độ C a b a (2 6;6 − − − )

Do C nằm trên đường trung tuyến 5 2 9 0 a b − − = (2)

Từ (1) và (2) : ( ) ( ) 2 14 0 37

37;88 , 20; 31

5 2 9 0 88

a b a

B C

a b b

  − + = =

⇒   ⇔ ⇒ − −

  − − = =

BT7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ + + = : 3 8 0 x y ,

∆ − + = ':3 4 10 0 x y và điểm A(−2;1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng

∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com