45 đề thi học sinh giỏi toán 8

Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.CongDongGiaSu.edu.vn

§Ò sè 1 (t0¸n 8)

Bµi 1: (3 ®iÓm)

Cho biÓu thøc





































 

3

1

27 3

:

3

3

3

1

2

2

2

x x

x

x x

A

a) Rót gän A.

b) T×m x ®Ó A < -1.

c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2: (2 ®iÓm)

Gi¶i ph-¬ng tr×nh:

a)

y y

y

y y 1 3

2

9 1

6

3 10 3

1

2 2 







 

b)

2

2

1

.

3

6

1

3

2

4

3

2











 



 







x x x

x

Bµi 3: (2 ®iÓm)

Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh

lÇn l-ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ

55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y.

Bµi 4: (2 ®iÓm)

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®-êng chÐo AC ta dùng h×nh

ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh:

a) BD // MN.

b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC.

Bµi 5: (1 ®iÓm)

Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).

Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph-¬ng.

§Ò sè 2

Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.CongDongGiaSu.edu.vn

C©u I: (2®iÓm)

1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)

4 5

2

x  x 

b)

ab(a b)  ac(a  c)  bc(2a b  c)

2) Gi¶i ph-¬ng tr×nh

5

4

7 12

1

5 6

1

3 2

1 1

2 2 2 2



 



 



 



x  x x x x x x x

C©u II: (2 ®iÓm)

1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc

f x  x  x  ax  b

3 2

( ) 2

chia hÕt cho ®a thøc

( ) 1

2

g x  x  x  .

2) T×m d- trong phÐp chia ®a thøc

( ) 2006 161 37 13 5 P x  x  x  x  x  x 

cho ®a

thøc

( ) 1.

2 Q x  x 

C©u III: (2 ®iÓm)

1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

b

b

c a b

c

a b c c a

a

P

 



 



 



2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n

a  b , b  c, c  a .

CMR:

0

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2



 





 





 



c a c b

c ab

b a b c

b ac

a b a c

a bc

C©u IV: (3®iÓm)

1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt

ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña

CP vµ NB.

CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K th¼ng hµng.

c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng

®æi.

2) Cho tamg g¸ic ABC cã ba gãc nhän, ba ®­êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång

quy t¹i H. CMR:

'

'

'

'

'

'

CC

HC

BB

HB

AA

HA

  b»ng mét h»ng sè.

C©u V: (1 ®iÓm):

Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt

cña biÓu thøc:

2 2

2 2

a ab b

a ab b Q

 

 



§Ò sè 3

Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.CongDongGiaSu.edu.vn

Bµi 1: (2 ®iÓm)

a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

a b  c b  c  b c  a c  a  c a  b a b

b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ

0

1 1 1

  

a b c

Rót gän biÓu thøc:

a bc b ca c ab

N

2

1

2

1

2

1

2 2 2 











Bµi 2: (2®iÓm)

a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

1

2 2 M  x  y  xy  x  y 

b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh:

( 4,5) ( 5,5) 1 0

4 4

y   y   

Bµi 3: (2®iÓm)

Mét ng-êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®-îc

15 phót, ng-êi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A

nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ng-êi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch

B 20 km. TÝnh qu·ng ®-êng AB.

Bµi 4: (3®iÓm)

Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®-êng chÐo BD. KÎ ME vµ

MF vu«ng gãc víi AB vµ AD.

a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.

b) Chøng minh ba ®-êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy.

c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt.

Bµi 5: (1®iÓm)

T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh:

3 5 345 2 2

x  y 

§Ò sè 4

Bµi 1: (2,5®iÓm)

Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.CongDongGiaSu.edu.vn

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) x5 + x +1

b) x4 + 4

c) x

x - 3x + 4

x -2 víi x  0

Bµi 2 : (1,5®iÓm)

Cho abc = 2

Rót gän biÓu thøc:

2 2

2

2 1  



 



 



ac c

c

bc b

b

ab a

a

A

Bµi 3: (2®iÓm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b  0

TÝnh:

2 2 4a b

ab P





Bµi 4 : (3®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM.

Tõ N vÏ ®-êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t

AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F.

a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm

b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n

c) TÝnh : ANB + ACB = ?

d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña

 ABC ®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng.

Bµi 5: (1®iÓm)

Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× :

5

2n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.

§Ò sè 5

Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: