43_BO_DE_THI_TOAN_TS_LOP_10: 2009-2010

Tài liệu ôn thi toán Su tÇm

§Ò thi tuyÓn sinh

*Trêng THPT NguyÔn Tr·i

( H¶i D¬ng 2002- 2003, dµnh cho c¸c líp chuyªn tù nhiªn)

Thêi gian: 150 phót

Bµi 1. (3 ®iÓm)

Cho biÓu thøc.

A =

1

4 4

2 4 2 2 4 2

2

− +











 + − − + + + −

x x

x x x x

1) Rót gän biÓu thøc A.

2) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn

Bµi 2.( 3 ®iÓm)

1) Gäi x1

vµ x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.

x

2

-(2m-3)x +1-m = 0

T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: x 1

2+ x 2

2

+3 x1

.x 2 (x 1 + x 2 ) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt

2) Cho a,b lµ c¸c sè h÷u tØ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b

2003

Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x2

+2x+ab = 0 cã hai nghiÖm h÷u tØ.

Bµi 3. ( 3 ®iÓm)

1) Cho tam gi¸c c©n ABC, gãc A = 1800

. TÝnh tØ sè AB

BC

.

2) Cho h×nh qu¹t trßn giíi h¹n bëi cung trßn vµ hai b¸n kÝnh OA,OB vu«ng gãc

víi nhau. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OB, ph©n gi¸c gãc AIO c¾t OA t¹i D, qua D kÎ ®êng

th¼ng song song víi OB c¾t cung trong ë C. TÝnh gãc ACD.

Bµi 4. ( 1 ®iÓm)

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:

| 2 2 2 2

a + b − a + c | ≤ | b-c|

víi a, b,c lµ c¸c sè thùc bÊt k×.

1

Tài liệu ôn thi toán Su tÇm

*Trêng n¨ng khiÕu TrÇn Phó, H¶i Phßng.(150 )’

Bµi 1. ( 2 ®iÓm) cho biÓu thøc: P(x) =

3 4 1

2 1

2

2

− +

− −

x x

x x

1) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x)

2) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(-x) < 0

Bµi 2. ( 2 ®iÓm)

1) cho ph¬ng tr×nh: 0

2

2(2 1) 3 6

2 2

=

−

− + + +

x

x m x m m

(1)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m =

3

2

b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x 1

vµ x 2

tho¶ m·n x 1

+2 x 2

=16

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2

2

1

2

1

1

2

+ + =

+ x x

x

Bµi 3 (2 ®iÓm)

1) Cho x,y lµ hai sè thùc tho¶ m·n x2+4y2

= 1

Chøng minh r»ng: |x-y|

2

5

≤

2) Cho ph©n sè : A=

5

4

2

+

+

n

n

Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶ m·n 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A lµ ph©n sè cha tèi gi¶n

Bµi 4( 3 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (0 1

) vµ (0 2

) c¾t nhau t¹i P vµ Q. TiÕp tuyÕn chung gÇn P

h¬n cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (0 1

) t¹i A, tiÕp xóc víi (0 2

) t¹i B. TiÕp tuyÕn cña (0 1

) t¹i P

c¾t (0 2

) t¹i ®iÓm thø hai D kh¸c P, ®êng th¼ng AP c¾t ®êng th¼ng BD t¹i R. H·y chøng minh r»ng:

1)Bèn ®iÓm A, B, Q,R cïng thuéc mét ®êng trßn

2)Tam gi¸c BPR c©n

3)§êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c PQR tiÕp xóc víi PB vµ RB.

Bµi 5. (1 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã BC < CA< AB. Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy ®iÓm E sao

cho DB = BC = CE. Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch gi÷a t©m ®êng trßn néi tiÕp vµ t©m ®êng trßn

ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC b»ng b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADE

Trêng TrÇn §¹i NghÜa - TP HCM

2

Tài liệu ôn thi toán Su tÇm

(n¨m häc: 2004- 2005 thêi gian: 150 phót

)

C©u 1. Cho ph¬ng tr×nh x2

+px +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt a 1

, a 2

vµ ph¬ng

tr×nh x2

+qx +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt b 1

,b 2 . Chøng minh: (a 1 - b1 )( a 2 - b 1 )(

a 1

+ b1

. b 2 +b 2 ) = q2

- p2

C©u 2: cho c¸c sè a, b, c, x, y, z tho¶ m·n

x = by +cz

y = ax +cz

z = ax +by ; víi x + y+z ≠ 0

Chøng minh: 2

1

1

1

1

1

1

=

+

+

+

+

+ a b c

C©u 3: a) T×m x; y tho¶ m·n 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0

b) Cho c¸c sè d¬ng x;y;z tho¶ m·n x3+y3+z3 =1

Chøng minh: 2

1 1 1

2

2

2

2

2

2

≥

−

+

−

+

− z

z

y

y

x

x

C©u 4. Chøng minh r»ng kh«ng thÓ cã c¸c sè nguyªn x,y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

x

3

-y3

= 1993.

Chuyªn Lª Quý §«n _ tØnh B×nh §Þnh

(n¨m häc 2005-2006, m«n chung, thêi gian:150’)

3

Tài liệu ôn thi toán Su tÇm

C©u 1(1®):

tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A= 1

1

1

1

+

+

a + b

víi a= 2 3

1

+

vµ b= 2 3

1

+

C©u 2(1.5®):

Gi¶i pt: 4 4 8

2

x − x + + x =

C©u 3(3®):

Cho hµm sè y=x2

cã ®å thÞ (P) vµ hai ®iÓm A,B thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1

vµ 2.

a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.

b) VÏ ®å thÞ (P) vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc cung AB cña ®å thÞ (P) sao cho

tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch max.

C©u4(3,5®):

Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ cã trùc t©m H. Ph©n gi¸c trong cña

gãc A c¾t ®êng trßn (O) t¹i M. KÎ ®êng cao Ak cña tam gi¸c.Chøng minh:

a) ®êng th¼ng OM ®i qu trung ®iÓm N cña BC.

b) c¸c gãc KAM vµ MAO b»ng nhau.

c) AH=2NO.

C©u 5 (1®):

tÝnh tæng:

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1).

§Ò thi häc sinh giái quËn t©n phó TP.HCM

n¨m häc 2003-2004

4