11 de luyen thi vao lop 10 chuyen Toan (co dap an).

Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n

§Ò 1

Bµi 1: (8 ®iÓm)

Cho parabol

1 2

( ) :

3

P y x =

.

1. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm A(2;1)

.

2. Gäi d lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;1) vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m

th× ®êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung

®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.

3. T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai

tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.

Bµi 2: (4®iÓm)

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2 19

7

x y xy

x y xy

 + − = 

 + + = −

Bµi 3: (8 ®iÓm)

Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn.

ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp

tuyÕn cña nöa ®êng trßn.

1. Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho th× ®êng th¼ng ED

lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.

2. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

3. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

HÕt

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:

1

Bµi 1 ý Néi dung §iÓm

1. 8,0

1.1 (2,0 ®iÓm)

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 ®i qua A(2; 1) cã d¹ng: y = ax + b vµ 1 = 2a +

b, suy ra b = 1 - 2a, do ®ã d1: y = ax - 2a+1.

0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d1 vµ (P) lµ:

1 2 2 2 1 3 6 3 0

3

x ax a x ax a = − + ⇔ − + − =

0.50

§Ó d1 lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× cÇn vµ ®ñ lµ:

∆ ='

2

2

9 24 12 0 2

3

a

a a

a

 =

∆ = − + = ⇔ 

 =

 2,0

VËy tõ A(2; 1) cã hai tiÕp tuyÕn ®Õn (P) lµ:

1 2

2 1 : 2 3; :

3 3

d y x d y x = − = −

0,50

1.2 (4,0 ®iÓm)

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hÖ sè gãc m lµ:

y mx m = + −1 2 0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:

1 2 2 2 1 3 6 3 0 (2)

3

x mx m x mx m = − + ⇔ − + − =

0,50

§Ó d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt th× cÇn vµ ®ñ lµ:

2 2 8 4 9 24 12 0 9 0

3 3

m m m m

  ∆ = − + > ⇔ − + >  ÷  

2

4 4 4 2 0

3 9 3 3

m m

  ⇔ − − > ⇔ − >  ÷  

4

3

4 2 2

3 3 3 (*)

4

2

3

4 2

3 3

m

m

m

m m

m



≥ 



 − > 

 <

⇔ ⇔ 







<  >





 − >  1,5

2

Víi ®iÒu kiÖn (*), d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm M vµ N cã hoµnh ®é lµ x1 vµ x2 lµ 2

nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), nªn to¹ ®é trung ®iÓm I cña MN lµ:

1 2

2

2 2 2 2 3 ; 2 1; 3

3 3 3 3 2 2

2 4 1 2 1

3 3

x x x

x x m m x x

x

I

y mx m y x x

    + = < > ⇔ < >   ÷   = = ⇔    

   = + − = − +  1,0

VËy khi m thay ®æi, quÜ tÝch cña I lµ phÇn cña parabol 2 4 2

1

3 3

y x x = − + ,

giíi h¹n bëi x x < > 1; 3. 0,50

1.3 (2,0 ®iÓm)

Gäi 0 0 0 M x y ( ; )lµ ®iÓm tõ ®ã cã thÓ vÏ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ®Õn (P). Ph-

¬ng tr×nh ®êng th¼ng d' qua M0 vµ cã hÖ sè gãc k lµ: y kx b = + , ®êng

th¼ng nµy ®i qua M0 nªn 0 0 0 0 y kx b b y kx = + ⇔ = − , suy ra pt cña d':

0 0 y kx kx y = − + . 0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:

2 2

0 0 0 0

1

3 3 3 0

3

x kx kx y x kx kx y = − + ⇔ − + − = (**)

0,50

§Ó tõ M0 cã thÓ kÎ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc tíi (P) th× ph¬ng tr×nh:

2

0 0 ∆ = − + = 9 12 12 0 k kx y cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 2 k k , vµ 1 2 k k = −1

0

0

12 3

1

9 4

y ⇔ = − ⇔ = − y

0,50

VËy quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ vÏ ®îc 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc cña

(P) lµ ®êng th¼ng 3

4

y = −

0,50

2. (4,0 ®iÓm)

( )

2 2 2 2

19 3 19 3 19

7 7 7

x y xy S P x y xy S x y

x y xy S P x y xy P xy

  + − = − =  + − =   = +    ⇔ ⇔  ÷

+ + = − + = −  + + = −   =   

(1)

1,0

Gi¶i hÖ (1) ta ®îc: ( 1; 6), ( 2; 5) S P S P = − = − = − = − 1,0

Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh tÝch, tæng: 1

6

x y

xy

 + = − 

 = −

vµ

2

5

x y

xy

 + = − 

 = −

ta cã c¸c

nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:

3 2 1 6 1 6

; ; ;

2 3 1 6 1 6

x x x x

y y y y

  = − = = − − = − +           = = −     = − + = − − 2,0

3