100 PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE (IMPLEMENTADOS EN MATLAB)

100 PROBLEMAS RESUELTOS DE

ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE

(IMPLEMENTADOS EN MATLAB)

cerca de las autoras

Amparo Baíllo Moreno es licenciada y doctora en Matemáticas por la Univer￾sidad Autónoma de Madrid, donde trabaja actualmente como investigadora

postdoctoral del programa SIMUMAT financiado por la Comunidad de Madrid.

Posee un máster en Finanzas Cuantitativas por la Escuela de Finanzas Aplica￾das y ha trabajado en el área de Riesgos del Grupo Santander. Cuenta con varias

publicaciones científicas en revistas internacionales de impacto y ha participado

en distintos proyectos de I+D financiados en convocatorias públicas nacionales.

Desde 1998 ha impartido docencia en las universidades Autónoma de Madrid y

Carlos III de Madrid.

Aurea Grané Chávez es licenciada y doctora en Matemáticas por la Universi￾dad de Barcelona. Forma parte del Grupo de Análisis Multivariante y Clasifica￾ción, vinculado a la SEIO. Cuenta con varias publicaciones científicas en revis￾tas internacionales de impacto y ha participado en distintos proyectos de I+D

financiados por la Generalitat de Catalunya y en convocatorias públicas nacio￾nales. En 1994 empezó a impartir docencia en el Departamento de Estadística

de la Universidad de Barcelona y actualmente es profesora del Departamento de

Estadística de la Universidad Carlos III de Madrid, donde imparte la asignatura

Estadística Multivariante en la Diplomatura de Estadística.

A

100 PROBLEMAS RESUELTOS DE

ESTADÍSTICA

MULTIVARIANTE

(IMPLEMENTADOS EN MATLAB)

AMPARO BAILLO MORENO

Facultad de Ciencias

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID

AUREA GRANÉ CHÁVEZ

Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

100 EJERCICIOS RESUELTOS DE

ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE

(IMPLEMENTADOS EN MATLAB)

AMPARO BAILLO MORENO

AUREA GRANÉ CHÁVEZ

Editor gerente Fernando M. García Tomé

Diseño de cubierta Mizar Publicidad, S.L.

Preimpresión Delta Publicaciones

Impresión Jacaryan

Avda. Pedro Díez, 3. Madrid (España)

Copyright © 2008 Delta, Publicaciones Universitarias. Primera edición

C/Luarca, 11

28230 Las Rozas (Madrid)

Dirección Web: www.deltapublicaciones.com

© 2008 La autora

Reservados todos los derechos. De acuerdo con la legislación vigente

podrán ser castigados con penas de multa y privación de libertad

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artística o científica fijada en cualquier tipo de soporte sin la preceptiva

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el diseño de cubierta, puede ser reproducida, almacenada o transmitida

de ninguna forma, ni por ningún medio, sea electrónico, químico,

mecánico, magneto-óptico, grabación, fotocopia o cualquier otro,

sin la previa autorización escrita por parte de la editorial.

ISBN 84-96477-73-8

Depósito Legal

(0907-60)

A Manolo y Pep

Presentación

El análisis estadístico multivariante es una herramienta de investigación y generación

de conocimiento extraordinariamente valiosa, tanto en las ciencias naturales como en

las ciencias sociales. Este libro es una valiosa aportación a la literatura en español so￾bre este tema. Muchos de los interesantes problemas que contiene ayudan a compren￾der y apreciar el potencial de las técnicas clásicas de análisis multivariante, mientras

que otros guían al lector para profundizar en aspectos metodológicos de interés de las

técnicas estudiadas. Un atractivo especial de este libro es la inclusión de numerosas

rutinas de Matlab que permiten aplicar de forma fácil y flexible las técnicas considera￾das a distintos conjuntos de datos reales. Las autoras, Amparo Baíllo y Aurea Grané,

tienen gran experiencia en la enseñanza de estas técnicas y el libro muestra claramente

su gran experiencia en el análisis de datos reales y en la presentación de los resultados

del análisis.

Recomiendo este libro a todos los interesados en las aplicaciones del análisis multiva￾riante y, muy especialmente, a las personas que deseen disponer de un lenguaje potente

y flexible, como Matlab, que les permita escribir sus propias rutinas de programación,

liberándose del esquema rígido de los programas convencionales. Estoy seguro de que

encontrarán este libro muy útil para este objetivo.

Daniel Peña

Catedrático de Estadística

Universidad Carlos III de Madrid

Introducción

El objetivo de este libro es ayudar a comprender todo un conjunto de técnicas ex￾ploratorias y estadísticas que permiten sintetizar, representar e interpretar los datos

obtenidos de la observación simultánea de varias variables estadísticas. Así pues el

libro se centra en el análisis estadístico de matrices de datos, con el fin de extraer de

forma rápida la información más relevante contenida en ellas. Los datos de tipo mul￾tivariado aparecen actualmente en contextos muy diversos, como son el mundo de la

Economía y las Finanzas, las Ciencias Experimentales y la Ingeniería o también en las

Ciencias Humanas y Sociales.

Los temas que se tratan pueden clasificarse en tres apartados:

• Inferencia multivariante.

• Técnicas de representación y de reducción de la dimensión.

• Técnicas de clasificación: análisis de conglomerados y análisis discriminante.

Los problemas intentan recoger la diversidad de los campos de aplicación menciona￾dos anteriormente y, en este sentido, se ha procurado buscar conjuntos de datos que

fueran interesantes para un público de procedencia muy diversa.

Este libro es fruto de las experiencias docentes de las autoras en la Diplomatura en

Estadística y la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas de la Uni￾versidad Carlos III de Madrid y en la Diplomatura en Estadística, la Licenciatura en

Matemáticas y la Licenciatura en Biología de la Universidad de Barcelona. En gene￾ral, este libro está dirigido a estudiantes y docentes de cualquier disciplina en la que

sea necesario extraer información de un conjunto de datos multivariantes.

Para un seguimiento adecuado del libro se requieren conocimientos básicos de Cálculo

de Probabilidades y de Inferencia Estadística. Además son deseables buenos conoci￾mientos de álgebra lineal, más allá de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

o de un leve contacto con formas cuadráticas en el contexto del cálculo de extremos de

una función real de varias variables. Es quizá demasiado suponer este conocimiento

previo y por ello se añade un tema adicional necesario para el desarrollo del libro.

X PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE

Este libro consta de nueve capítulos. Los tres primeros son introductorios y están de￾dicados, respectivamente, a una ampliación de conceptos de álgebra lineal, a familiari￾zarse con las matrices de datos y una introducción a la inferencia normal multivariante.

El resto de capítulos están dedicados al estudio de técnicas multivariantes clásicas,

como son: el análisis de componentes principales, el escalado multidimensional, el

análisis de conglomerados, el análisis factorial, el análisis canónico de poblaciones y

el análisis discriminante.

Soporte informático

El volumen de cálculo requerido para el análisis de datos multivariantes hace impracti￾cable su realización manual, no sólo para los cálculos con datos reales, sino incluso si

se trata de ejemplos sencillos con datos simulados que ilustren y motiven los conceptos

teóricos.

Ya desde los años 70, coincidiendo con la evolución de los ordenadores y la apari￾ción de los primeros paquetes comerciales de programas de Estadística (SPSS, BMDP,

SAS), algunos de los autores de libros dedicados al Análisis Multivariante, conscien￾tes de esta situación, han incluido listados de programas para realizar los cálculos

correspondientes a las técnicas expuestas.

Por ello hemos creído conveniente disponer de un software que permita programar de

forma muy sencilla las técnicas que el usuario desea implementar. Esto es posible a tra￾vés de programas comerciales como MATLAB1 y S-Plus, o bien sus clónicos gratuitos

como OCTAVE y R, por citar algunos. Todos ellos tienen incorporadas estructuras y

operaciones matriciales, fundamentales en el Análisis Multivariante, además de innu￾merables subrutinas para cálculos más específicos. Puede parecer que el uso de estos

programas añade complicaciones a la comprensión de las técnicas expuestas. Pero, en

base a la experiencia, hay que decir que ocurre justamente lo contrario: el lenguaje

de programación que utilizan se asemeja considerablemente a la notación matricial, lo

que contribuye a una mayor asimilación y aprendizaje de las mismas.

Amparo y Aurea

1Matlab es una marca registrada de The MathWorks, Inc., http://www.mathworks.com

Contenido

CAPÍTULO 1

Álgebra matricial básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CAPÍTULO 2

Estadísticos descriptivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPÍTULO 3

Distribuciones multivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

CAPÍTULO 4

Análisis de componentes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

CAPÍTULO 5

Distancias estadísticas y escalado multidimensional (MDS) . . . . . . . . . . 93

CAPÍTULO 6

Análisis de conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

CAPÍTULO 7

Análisis factorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

CAPÍTULO 8

Análisis canónico de poblaciones (MANOVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

CAPÍTULO 9

Análisis discriminante y clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Índice de funciones y código Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Índice de conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

CAPÍTULO 1

Álgebra matricial básica

En este primer capítulo se repasan algunos conceptos de álgebra matricial que serán

extremadamente útiles para el tratamiento de datos multivariantes. Las matrices ayu￾dan a plantear los métodos de estadística multivariante de manera concisa y facilitan

su implementación en programas de ordenador.

Comenzaremos trabajando con normas de vectores, productos escalares y proyeccio￾nes ortogonales. A continuación recordaremos el cálculo de matrices inversas, deter￾minantes, autovalores y autovectores y otros conceptos básicos del álgebra de matri￾ces. El capítulo concluye determinando el signo de algunas formas cuadráticas.

PROBLEMA 1.1

Sean u = (1, 2)′

, v = (−2, 3)′

y w = (3, −5)′

tres vectores de R

2

. Evalúense las

siguientes expresiones, donde a · b denota el producto escalar entre los vectores a y

b y a =

√

a · a denota la norma o longitud del vector a.

(a) (u − 2v) · w

(b) u + v + w

(c) u + v + w

(d) (u − v) · (v − w)

✞

✝

☎

SOLUCIÓN ✆

Para introducir los vectores en Matlab escribimos

u = [1 ; 2]; v = [-2 ; 3]; w = [3 ; -5];

(a) (u − 2 v) · w = (u − 2 v)

′w = 35. Para calcularlo en Matlab escribimos

(u-2*v)’*w

2 PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE

(b) u + v + w = 2. Para calcular la norma de un vector u podremos utilizar la orden

de Matlab norm(u). También podemos escribir el código nosotros mismos mediante una

función Matlab, que denominaremos, por ejemplo, norma. Para utilizar esta función dentro

de Matlab, la guardaremos en un fichero con el mismo nombre y extensión .m, en este caso

norma.m :

function nu = norma(u)

u = u(:) ;

nu = sqrt(u’*u) ;

Para resolver este apartado, en la ventana de comandos de Matlab escribiremos:

norma(u+v+w)

Compruébese que se llega al mismo resultado utilizando la función interna de Matlab norm.

(c) u + v + w = 2.2361. En Matlab

norm(u) + norm(v) + norm(w)

(d) (u − v) · (v − w)=(u − v)

′

(v − w) = −23. Con Matlab se calcularía así

(u-v)’*(v-w)

PROBLEMA 1.2

Dados dos vectores de R

p

, u y a, encuéntrese la proyección ortogonal del vector u

sobre el vector a, para:

(a) u = (8, 3)′

, a = (4, −5)′

,

(b) u = (2, 1, −4)′

, a = (−5, 3, 11)′

.

✞

✝

☎

SOLUCIÓN ✆

La proyección ortogonal de u sobre la dirección determinada por a viene dada por el vector

(Figura 1.1):

v =

u · a

a

2

a = (u · c) c,

donde c = a/a es el vector de longitud 1 en la dirección de a. Por tanto, u · c es la longitud

de la proyección v (esto lo utilizaremos en el Problema 2.9).

El siguiente código (que debe guardarse en el fichero ProyOrto.m) permite calcular la pro￾yección ortogonal de un vector u sobre a:

function v = ProyOrto(u,a)

u = u(:); a = a(:);

v = (u’*a)*a /norm(a) ;